Números Complejos
Unidad imaginaria
Un número real puede ser representado en la recta real mediante un punto, pero también puede ser representado mediante un segmento
dirigido sobre la recta. Arrastra el punto azul que aparece en la siguiente
gráfica para visualizar la representación gráfica mediante segmentos dirigidos
de algunos números reales. ¿Qué números representan los segmentos dirigidos
presentados?
Llamaremos módulo a la longitud de los segmentos dirigidos y argumento al
ángulo que forman éstos con la parte positiva de la recta real. Encuentra módulo
y argumento de cada número representado en el punto anterior y completa la
siguiente tabla.
| Número | Módulo | Argumento |
| Z1= | ||
| Z2= | ||
| Z3= | ||
| Z4= | ||
| Z5= |
¿Cuál es el argumento de un número positivo?
¿Cuál es el argumento de un número negativo?
En el siguiente cuadro se muestran dos números reales. Arrastra el punto
verde sobre el segmento para visualizar la multiplicación
Z1∙ Z2.
¿Qué observas mientras arrastras el punto verde sobre el segmento? Repite el
proceso para distintos números reales y explora con el producto de dos números
positivos, dos números negativos, y un número positivo con uno negativo.
Compara los módulos y argumentos de
Z1,
Z2 con
los de
Z1∙
Z2
y explica cómo obtener el módulo y el argumento del
producto a partir del módulo y argumento de los factores.
En el siguiente cuadro se muestra un número real
Z y su cuadrado
Z2.
Explica cómo obtener el módulo y el argumento de Z2
a partir del módulo y argumento de Z.
Ahora, arrastra el extremo del segmento dirigido que representa a
Z y
resuelve las siguientes ecuaciones.
Z2
= 9
Z2
= 2
Z2
= -1
¿Cuántas soluciones encontraste para cada una de las ecuaciones anteriores?
Justifica tu respuesta y comenta con tus compañeros.
Como habrás notado, la ecuación
Z2
= -1 no tiene soluciones en el conjunto de
los números reales. Sin embargo, agregaremos números a nuestro sistema para que
esta ecuación tenga solución. Estos números no pueden representarse en la recta
real, entonces buscaremos gráficamente las soluciones en el plano, de modo que
se conserven las características geométricas en términos de módulo y argumento
para la multiplicación de números reales.
En el siguiente cuadro se muestra un número real
Z y su cuadrado. Arrastra
el extremo del segmento dirigido que representa a
Z de modo que se salga del eje
real e intenta resolver la ecuación
Z2
= -1 . ¿Cuántas soluciones puedes
encontrar?
Escribe el módulo y argumento del número -1.
Escribe el módulo y argumento de las soluciones encontradas. ¿Qué relación
existe entre ellas?
El símbolo
i
representa la unidad imaginaria y la definimos como una solución a la ecuación
Z2
= -1
Es decir,
i
es un número no real tal que elevado al cuadrado nos da
_______.
¿Cuál debe ser el módulo y argumento del número
i?
¿Cómo podemos denotar la otra solución?