Números Complejos
División
En el siguiente applet se muestran dos números complejos. Arrastra el punto sobre el segmento verde para visualizar el cociente Z1 / Z2.
Describe el proceso que se realiza en el applet mientras arrastras el
punto verde hasta que éste se encuentra en el punto medio del segmento.
Describe el proceso que se realiza en el applet mientras arrastras el punto sobre el resto del segmento. Expresa tu respuesta en términos de la relación que existe entre los triángulos
mostrados.
Repite el proceso para distintos números complejos. No olvides considerar
números complejos que se encuentren en cuadrantes distintos cada vez, o incluso
sobre los ejes real e imaginario. También varía los módulos de modo que éstos
sean mayores, menores o iguales a uno.
|
Z1 |
Z2 |
Z1 / Z2 |
|||
| Módulo | Argumento | Módulo | Argumento | Módulo | Argumento |
| 8 | 30° | 2 | 15° | ||
| 9 | 120° | 3 | 45° | ||
| 7 | 240° | 1 | 180° | ||
| 5 | 330° | 2 | 255° | ||
| 4 | 90° | 2 | 300° | ||
Describe cómo se efectúa gráficamente el cociente
Z1 / Z2.
Activa la opción “Muestra valores numéricos” y verifica las observaciones
hechas en las preguntas 5, 6 y 7. Comenta con tus compañeros.
Ahora, analizaremos la división en coordenadas cartesianas.
Explora
el cociente de
Z1 / Z2 con
Z1 arbitrario y
Z2 un
número real positivo. Repite el proceso para distintos números complejos con las
especificaciones indicadas y anota lo que se te pide en la siguiente tabla.
|
Z1 |
Z2 |
Z1 / Z2 |
|||
| Parte Real | Parte Imaginaria | Parte Real | Parte Imaginaria | Parte Real | Parte Imaginaria |
| 8 | -4 | 2 | 0 | ||
| -6 | -3 | 3 | 0 | ||
| 7 | 2 | 4 | 0 | ||
¿Qué relación existe entre las partes reales y las partes imaginarias de
Z1,
Z2
y las del cociente
Z1 /
Z2?
Después repite lo anterior, pero ahora con Z2 un real negativo y anota lo que se te solicita en la siguiente tabla.
|
Z1 |
Z2 |
Z1 / Z2 |
|||
| Parte Real | Parte Imaginaria | Parte Real | Parte Imaginaria | Parte Real | Parte Imaginaria |
| 6 | 4 | -2 | 0 | ||
| -9 | -6 | -3 | 0 | ||
| -5 | 6 | -2 | 0 | ||
| 4 | -3 | -4 | 0 | ||
Anota tus observaciones en términos de las partes real e imaginaria de los números complejos utilizados.
Verifica tus observaciones activando la casilla “Mostrar valores numéricos”.
Si obtuviste una conclusión distinta a la que habías llegado, anótala. Recuerda
desactivar la casilla una vez que hayas terminado de verificar tus
observaciones.
Con base en lo anterior, indica cuál es el procedimiento algebraico para la
división de
Z1= a+ bi entre
Z2=
c donde
a ,
b y
c son
números reales.
Ahora, explora
el cociente de
Z1 / Z2 con
Z1 arbitrario y
Z2 un imaginario
puro.
|
Z1 |
Z2 |
Z1 / Z2 |
|||
| Parte Real | Parte Imaginaria | Parte Real | Parte Imaginaria | Parte Real | Parte Imaginaria |
| 4 | 2 | 0 | 2 | ||
| -3 | 6 | 0 | 3 | ||
| 8 | -1 | 0 | -4 | ||
| -7 | -3 | 0 | -1 | ||
¿Qué relación existe entre las partes reales y las partes imaginarias de
Z1,
Z2
y las del cociente
Z1 /
Z2?
Verifica tus observaciones activando la casilla “Mostrar valores numéricos”.
Si obtuviste una conclusión distinta a la que habías llegado, anótala.
Con base en lo anterior indica cuál es el procedimiento algebraico para la
división de
Z1= a+ bi entre
Z2=
di donde
a ,
b y
d son
números reales.
Como podemos ver, al dividir un complejo arbitrario entre un número real o
un imaginario puro podemos hacer algunas observaciones e incluso indicar un
procedimiento algebraico para hacerlo. Sin embargo, cuando queremos dividir dos
números complejos arbitrarios resulta ser complicado el visualizar una forma
algebraica para hacerlo, por lo tanto, debemos buscar la manera de que al
dividir dos números complejos arbitrarios nuestro denominador sea un número real
y así poder efectuar la división. ¿Cómo podemos hacer esto? ¿Cuál es el número
complejo que al multiplicarlo por otro número complejo dado, nos da un número real?
En general, ¿cuál es el procedimiento algebraico para la división de
Z1= a+ bi entre
Z2=
c+ di con
a, b,
c,
d números reales? Explora, anota tus observaciones y
compara con tus compañeros.