Números Complejos
Producto
En el siguiente applet se muestran dos números complejos. Arrastra el punto sobre el segmento verde para visualizar el producto Z1 ∙ Z2.
Describe el proceso que se realiza en el applet mientras arrastras el punto verde hasta que éste se encuentra en el punto medio del segmento.
Describe el proceso que se realiza en el applet mientras arrastras el punto sobre el resto del segmento. Expresa tu respuesta en términos de la relación que existe entre los triángulos mostrados.
Repite el proceso para distintos números complejos. No olvides considerar números complejos que se encuentren en cuadrantes distintos cada vez, e incluso sobre los ejes real e imaginario. También varía los módulos de modo que éstos sean mayores, menores o iguales a uno. Anota la información solicitada en la siguiente tabla.
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Z1 |
Z2 |
Z1 ∙ Z2 |
|||
| Módulo | Argumento | Módulo | Argumento | Módulo | Argumento |
|
5 |
30° | 2 | 75° | ||
| 4 | 135° | 2 | 60° | ||
| 1 | 210° | 2 | 270° | ||
| 2 | 330° | 1 | 90° | ||
| 3 | 180° | 3 | 125° | ||
| 2 | 4 | ||||
| 4 | 2 | ||||
| 5 | 1 | ||||
Describe cómo se efectúa gráficamente el producto Z1 ∙ Z2, en términos de las operaciones que se efectúan con los módulos y argumentos de los factores para obtener el producto.
Activa la opción “Muestra valores numéricos” y verifica las observaciones hechas en las preguntas 5, 6 y 7. Comenta con tus compañeros.
¿Qué relación existe entre el producto Z1 ∙ Z2 y el producto Z2 ∙ Z1? Justifica tu respuesta.
Ahora, analizaremos el producto en coordenadas cartesianas.
Explora la multiplicación de Z1 ∙ Z2 con Z1 un real positivo y Z2 arbitrario. Repite el proceso para distintos números complejos con las especificaciones indicadas y anota la información solicitada en la siguiente tabla.
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Z1 |
Z2 |
Z1 ∙ Z2 |
|||
| Parte Real | Parte Imaginaria | Parte Real | Parte Imaginaria | Parte Real | Parte Imaginaria |
| 2 | 0 | 4 | 1 | ||
| 3 | 0 | 3 | -1 | ||
| 4 | 0 | -2 | -4 | ||
¿Qué relación existe entre las partes reales y las partes imaginarias de Z1 ,Z2 con las del producto Z1 ∙ Z2?
Después repite lo anterior, pero ahora con Z1 un real negativo y anota la información solicitada en la siguiente tabla.
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Z1 |
Z2 |
Z1 ∙ Z2 |
|||
| Parte Real | Parte Imaginaria | Parte Real | Parte Imaginaria | Parte Real | Parte Imaginaria |
| -4 | 0 | 2 | 2 | ||
| -2 | 0 | -3 | 1 | ||
| -3 | 0 | 1 | -4 | ||
| -1 | 0 | -4 | -3 | ||
Anota tus observaciones en términos de las partes real e imaginaria de los números complejos utilizados.
Verifica tus observaciones activando la casilla “Mostrar valores numéricos”. Si obtuviste una conclusión distinta a la que habías llegado, anótala. Recuerda desactivar la casilla una vez que hayas terminado de verificar tus observaciones.
Con base en lo anterior indica cuál es el procedimiento algebraico para la multiplicación de Z1 = a y Z2 = c+ di donde a , c y d son números reales.
Ahora, explora la multiplicación de Z1 ∙ Z2 con Z1 un imaginario puro y Z2 arbitrario.
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Z1 |
Z2 |
Z1 ∙ Z2 |
|||
| Parte Real | Parte Imaginaria | Parte Real | Parte Imaginaria | Parte Real | Parte Imaginaria |
| 0 | 2 | 4 | -1 | ||
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||
| 0 | -3 | -4 | -2 | ||
| 0 | -2 | -1 | 3 | ||
¿Qué relación existe entre las partes reales y las partes imaginarias de Z1 , Z2 con las del producto Z1 ∙ Z2?
Verifica tus observaciones activando la casilla “Mostrar valores numéricos”. Si obtuviste una conclusión distinta a la que habías llegado anótala.
Con base en lo anterior, indica cuál es el procedimiento algebraico para la multiplicación de Z1 = bi y Z2 = c+ di donde b , c y d son números reales.
Ahora, explora la multiplicación de Z1 ∙ Z2 con Z1 y Z2 arbitrarios.
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Z1 |
Z2 |
Z1 ∙ Z2 |
|||
| Parte Real | Parte Imaginaria | Parte Real | Parte Imaginaria | Parte Real | Parte Imaginaria |
| 2 | -1 | 3 | 5 | ||
| -3 | 2 | 4 | -1 | ||
En general, ¿cuál es el procedimiento algebraico para la multiplicación de Z1 = a+bi y Z2 = c+ di con a, b, c, d números reales? Explora, anota tus observaciones y compara con tus compañeros.