Polinomios y raíces

Ecuaciones de tercer grado con soluciones reales

En el siguiente applet se muestra el polinomio asociado a la ecuación

\(x^3-x^2 -4 x +4 = 0\)

  • ¿Cuáles son sus soluciones según la gráfica?

 

 

Antes de estudiar métodos algebraicos para resolver la ecuación general de tercer grado, analizaremos primero el problema inverso. Partiremos, primeramente, de tres números reales, para construir una ecuación cuyas soluciones sean esos números.

  • Arrastra los puntos sobre el eje de las abscisas y registra lo que se solicita en la siguiente tabla:

 

Soluciones Polinomio y Ecuación Factorizados Polinomio y Ecuación Desarrollados
-4, -1 y 1    
   
-5, 2 y 2    
   
-2, -2 y -2    
   

 

Analiza el polinomio que resulta en cada caso y trata de encontrar patrones entre algunos coeficientes y las soluciones de las ecuaciones.

  • Describe lo que logres identificar.

 

 

Es importante, también, analizar las gráficas obtenidas en cada caso e identificar visualmente el número de veces que se repite una raíz.

  • Describe características gráficas para identificar una raíz simple

 

  • Una raíz doble

 

  • Una raíz triple

 

 

Ahora, para incluir un elemento más, utiliza el deslizador para cambiar el valor del parámetro \( k \). Presta atención en los casos en que su valor es positivo, negativo, mayor que 1, menor que 1, etc…

  • ¿Cómo se transforma la expresión algebraica del polinomio al variar el valor de \( k \)?

 

  • ¿Qué efecto tiene sobre la gráfica en general?

 

  • ¿Qué efecto tiene sobre los puntos de intersección de la gráfica con el eje \( x \)? ¿Por qué?

 

Como podrás observar, al construir una ecuación de tercer grado a partir de sus soluciones, podemos tener una infinidad de opciones cambiando el valor del parámetro \( k \).

  • Explica e incluye un ejemplo

 

 

  • Generalizando, escribe cómo serían el polinomio y la ecuación factorizados si las soluciones fueran \( r, s \) y \( t \) , considerando el parámetro \( k=1 \).

 

Soluciones Polinomio factorizado Ecuación factorizada
\( r,s \) y \( t \)    

 

  • Desarrolla la expresión obtenida y compara con la forma general \( ax^3+bx^2+cx+d \).

 

 

 

  • Expresa \(a,b,c \) y \(d \) en términos de \( r,s \) y \( t \) , y justifica algebraicamente las relaciones encontradas a lo largo de esta actividad.
Relaciones
\( a=1 \)
\( b= \)
\( c= \)
\( d= \)

 

  • ¿Cómo cambian las expresiones de estos dos últimos puntos cuando consideramos el parámetro \( k \ne 1 \)?.

 

 

  • Registra los resultados en las siguientes tablas:
Soluciones Polinomio factorizado Ecuación factorizada
\( r,s \) y \( t \)    

 

Relaciones
\( a=k \)
\( b= \)
\( c= \)
\( d= \)