Fórmulas de Cardano Tartaglia

En esta sección analizaremos un método algebraico para resolver la ecuación general de tercer grado, la cual se representa de la siguiente manera:

\( ax^3+bx^2+cx +d=0 \)

donde \( a,b,c,d \) son constantes y además \( a \ne 0 \).

En el siglo XVI, los matemáticos italianos, Del Ferro y Tartaglia, de manera independiente, desarrollaron un método para resolver las ecuaciones de tercer grado reducidas de la forma

\( x^3+px+q=0 \),

el cual fue publicado por el matemático italiano Gerolamo Cardano en 1545.

Si bien este parece ser un método limitado a este tipo de ecuaciones, veremos que cualquier ecuación general de tercer grado puede reducirse a esta forma, conservando una relación con las soluciones de la ecuación original.

El primer paso para lograr la transformación es dividir la ecuación entre el coeficiente \( a \) de donde obtenemos:

\( x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x +\frac{d}{a}=0 \)

Renombrando los coeficientes, podemos escribir:

\( x^3+Bx^2+Cx +D=0 \)

El siguiente paso es trasladar en sentido horizontal la gráfica, hasta lograr que el coeficiente de \( x^2 \) se anule. Ten en cuenta que, en el proceso, otros coeficientes también podrían anularse y, entonces, la ecuación podría resolverse de maneras más directas.

Ilustraremos la estrategia con la siguiente ecuación:

\( 2x^3-6x^2-18x +54=0 \)

• Construye una ecuación equivalente, en la que el coeficiente de \( x^3 \) sea igual a 1.

 

En el siguiente applet se muestra la gráfica del polinomio \( p(x) \) asociado a la ecuación que acabas de construir. Aunque en él son evidentes las soluciones de la ecuación, recuerda que estaremos revisando un método algebraico.

 

Observa también, en el applet, que la gráfica del polinomio asociado se ha trasladado una unidad a la izquierda, y con eso se ha logrado construir el polinomio reducido \( p_1(x) \).

• ¿Qué relación guardan las raíces de este nuevo polinomio con las del polinomio original?

 

Analizaremos ahora porqué siempre es posible construir esta forma reducida para cualquier ecuación general de tercer grado.

• Arrastra el deslizador \( h \), o cambia su valor en la casilla de entrada, para lograr las formas reducidas de los siguientes polinomios y completa la tabla:

Lo que acabas de realizar es una exploración gráfica. Para lograr una justificación de tipo algebraico, es necesario realizar una transformación en la expresión algebraica del polinomio sustituyendo \( x \) por \( x-h \), reordenar los términos y determinar el valor de \( h \) para que el coeficiente de \( x^2 \) se anule.

• Lleva a cabo el procedimiento anterior con el polinomio \( p(x)=x^{3} - 7 x^{2} + 7 x + 15 \) y determina el valor de \( h \) de modo que el coeficiente de \( x^2 \) se anule.

 

 

• Ahora, para generalizar, repite el procedimiento con el polinomio \( p(x)= x^3+Bx^2+Cx +D \) y determina el valor de \( h \) en términos de los coeficientes del polinomio, de modo que el coeficiente de \( x^2 \) se anule.

 

 

 

El método de Cardano consiste en transformar la forma reducida de la ecuación de tercer grado \( x^3+px+q=0 \), en una ecuación de segundo grado, para las que ya contamos con varios métodos de resolución.

Antes de analizar el caso general, ilustraremos el método con la ecuación

\( x^3-12x+16=0 \)

El método consiste en suponer que cada solución \( x \) está compuesta por dos términos, y se representa de la forma

\( x =u+v \)

Después se realiza el siguiente desarrollo

\( x^3 =(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3=u^3+3uv(u+v)+v^3= u^3+3uvx+v^3 \)

Tomando las expresiones de los extremos, reescribimos como:

\( x^3 = u^3+3uvx+v^3 \)

Reacomodando términos obtenemos

\( x^3 - 3uvx -u^3-v^3 =0\)

Comparando esta ecuación con la forma reducida que estamos trabajando, podemos encontrar las siguientes relaciones:

La ecuación de segundo grado que construiremos es una que tiene como soluciones a \( u^3\) y \( v^3\).

La forma factorizada de la ecuación es \( (x-u^3)(x-v^3)=0 \)

• Desarrolla la ecuación para obtener su forma general.

 

 

• Construye una ecuación concreta sustituyendo los valores identificados en la tabla mostrada arriba.

 

• Resuelve la ecuación de segundo grado y analiza cómo son sus soluciones.

 

Esta es una ecuación de segundo grado, que está relacionada con la ecuación de tercer grado. Sus soluciones son \( u^3\) y \( v^3\), mientras que las soluciones de la ecuación reducida son de la forma \( x =u+v \).

Es decir, una vez que se obtengan las soluciones de la ecuación de segundo grado, se obtendrán sus raíces cúbicas, y combinándolas, se encontrarán las soluciones de la ecuación reducida.

El siguiente applet te ayudará con las soluciones de la ecuación de segundo grado, así como con el cálculo y la visualización gráfica de las raíces cúbicas correspondientes:

 

• Introduce, en la casilla de entrada del applet, la ecuación de segundo grado. Identifica sus soluciones, su tipo, las raíces cúbicas de sus soluciones y escríbelas en el siguiente espacio.

 

 

• Combínalas, para encontrar las soluciones de la ecuación de tercer grado reducida.

 

 

• Una vez encontradas las soluciones de la ecuación reducida, ¿cómo encontramos las soluciones de la ecuación original?

 

 

 

Antes de analizar el caso general, reduce las siguientes ecuaciones y aplica el método de Cardano para resolverlas, sólo cuando sea necesario:

• \( x^{3} - 6 x^{2} + 13 x – 10 =0 \)

 

 

 

• \( x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 =0 \)

 

 

 

• \( x^{3} - 9 x^{2} + 14 x + 24 =0 \)

 

 

 

 

Caso general

Ahora construiremos las Fórmulas de Cardano-Tartaglia analizando el caso general \( x^3+px+q=0 \), donde \( p \) y \( q \) son números reales.

De acuerdo a un desarrollo anterior, considerando que las soluciones son de la forma \( x =u+v \) obtuvimos que,

\( x^3 - 3uvx -u^3-v^3 =0\)

Comparando esta ecuación con la forma reducida que estamos trabajando, podemos encontrar las siguientes relaciones:

La ecuación de segundo grado que tiene como soluciones a \( u^3\) y \( v^3\) es \( (x-u^3)(x-v^3)=0 \).

Desarrollando la ecuación obtenemos su forma general: \( x^2-(u^3+v^3)x+u^3v^3=0 \)

Expresando los coeficientes de la ecuación de segundo grado en términos de \( p \) y \( q \), y usando las relaciones mostradas en la tabla anterior, obtenemos:

\( x^2+qx-\frac{p^3}{27}=0 \)

Aplicando la fórmula general, obtenemos las dos soluciones (que pueden ser, según revisamos, dos soluciones reales distintas, dos soluciones reales iguales, dos soluciones no reales conjugadas.

\( u^3=\frac{-q+ \sqrt{q^2+4\frac{p^3}{27}}}{2} \,\,\,\, \) y \( \,\,\,\, v^3=\frac{-q- \sqrt{q^2+4\frac{p^3}{27}}}{2} \)

Reacomodando términos, obtenemos una versión más conocida:

\( u^3=-\frac{q}{2}+ \sqrt{(\frac {q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3} \,\,\,\, \) y \( \,\,\,\, v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac {q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3} \)

De allí que

\( x=u+v= \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{(\frac {q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac {q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}} \)

Esta fórmula es un gran logro teórico, pero su aplicación no resulta muy directa, por lo que su valor práctico disminuye.

Sin embargo, esto nos impulsa en la búsqueda de otros métodos más accesibles.