Polinomios y raíces

Fórmula General para resolver Ecuaciones de Segundo Grado

Seguramente habrás revisado o revisarás la forma ordinaria de un polinomio de segundo grado \( p(x)= a(x-h)^2 + k \) en tus cursos de Cálculo Diferencial e Integral, y Geometría Analítica. Esta forma deja al descubierto características importantes como valores extremos, en Cálculo, y el vértice de la parábola, en Geometría Analítica.

En el siguiente applet podrás observar la forma ordinaria mencionada y podrás variar los parámetros asociados \( a, h \) y \( k \).

  • Explora el applet y describe el efecto de variar cada uno de ellos.

 

 

 

Con esta forma es posible determinar las raíces del polinomio, resolviendo la ecuación de segundo grado con un procedimiento directo de despeje de la variable.

  • Compruébalo con los siguientes polinomios. Escribe la ecuación correspondiente y resuélvela despejando la variable \( x \)
Polinomio Ecuación para encontrar raíces Despeje de la variable \( x \)
\( p(x)= (x-3)^2 -4 \)    
\( p(x)= (x+1)^2 -9 \)    
\( p(x)= (x+3)^2 -5 \)    
\( p(x)= 3(x-2)^2 +1 \)    
\( p(x)= -4(x+5)^2 -9 \)    

 

Cuando tenemos la forma general de una ecuación de segundo grado \( ax^2+bx+c=0 \), podemos factorizar el polinomio para encontrar las raíces \( a(x-r)(x-s)=0 \), o bien, podemos llevarlo a la forma ordinaria completando un trinomio cuadrado perfecto \( a(x-h)^2+k=0 \). En cualquiera de estas últimas dos formas, el procedimiento para encontrar las raíces es directo.

  • Ilustra ambos métodos con la ecuación \( x^2 -8x+15=0 \)

 

 

Completar el trinomio cuadrado perfecto para despejar la variable \( x \) constituye el fundamento de lo que conoces como la Fórmula General para resolver ecuaciones de segundo grado.

Antes de intentar resolver el caso general, resuelve las siguientes ecuaciones completando el trinomio cuadrado perfecto.

  •  \( x^2 -6x-7=0 \)

 

  • \( x^2 -4x+9=0 \)

 

  • \( x^2 -3x+8=0 \)

 

  • \( 3x^2 -6x+1=0 \)

 

  • \( 5x^2 -7x-2=0 \)

Ahora, aborda el caso general, e intenta despejar la variable \( x \). Comparte el proceso con tus compañeros.

  • \( ax^2 +bx+c=0 \)

 

 

Esta fórmula general nos permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado, pero recuerda que no siempre es el método más eficiente. En ocasiones, según la forma de la ecuación, despejar la variable o factorizar, resulta más adecuado.

 

Observa la expresión que se encuentra al interior del radical, en la fórmula general. Esta expresión recibe el nombre de discriminante, y su valor nos permite determinar el tipo de soluciones que tendrá una ecuación de segundo grado con coeficientes reales, según su valor sea mayor, menor o igual a cero.

  • Analiza y comenta con tus compañeros la validez de la afirmación anterior. Registren sus conclusiones completando la siguiente tabla.
Discriminante Tipo de soluciones
\( b^2-4ac>0 \)  
  Dos soluciones reales iguales
  Dos soluciones no reales, conjugadas