Ecuaciones de segundo grado con soluciones reales

En el siguiente applet se muestra el polinomio asociado a la ecuación

\(x^2 + x -2 = 0\)

• ¿Cuáles son sus soluciones?

 

 

Generalmente, se nos plantea una ecuación para encontrar sus soluciones. Ahora veremos el problema inverso. Partiremos de dos números reales, para construir una ecuación cuyas soluciones sean esos números.

 

• Arrastra los puntos sobre el eje de las abscisas y registra lo que se solicita en la siguiente tabla:

 

 

 

Analiza el polinomio que resulta en cada caso y trata de encontrar patrones entre los coeficientes y las soluciones de las ecuaciones.

• Describe lo que logres identificar.

 

Utiliza el deslizador para cambiar el valor del parámetro \( k \). Presta atención en los casos en que su valor es positivo, negativo, mayor que 1, menor que 1, etc…

 

• ¿Cómo se transforma la expresión algebraica del polinomio al variar el valor de \( k \)?

 

• ¿Qué efecto tiene sobre la gráfica en general?

 

• ¿Qué efecto tiene sobre los puntos de intersección de la gráfica con el eje \( x \)? ¿Por qué?

 

Como podrás observar, al construir una ecuación de segundo grado a partir de sus soluciones, podemos tener una infinidad de opciones cambiando el valor del parámetro \( k \).

• Escribe algunas de ellas en la siguiente tabla:

 

Observa que, aunque los polinomios son diferentes, las ecuaciones generadas para cada pareja de valores reales son equivalentes.

• ¿Por qué?

 

Otras relaciones interesantes entre las ecuaciones de segundo grado y sus soluciones pueden analizarse cuando utilizamos la factorización, que constituye uno de los métodos algebraicos utilizados para resolver este tipo de ecuaciones.

 

Explora de nuevo en el applet de la parte superior. Arrastra el deslizador de modo que \( k \) tenga el valor de 1.

• Activa la casilla Forma factorizada y completa la siguiente tabla.

 

• Describe las relaciones que logres identificar entre las soluciones de la ecuación y la forma factorizada del polinomio.

 

• Generalizando, escribe cómo serían el polinomio y la ecuación factorizados si las soluciones fueran \( r \) y \( s \) , considerando el parámetro \( k=1 \).

 

 

• Desarrolla la expresión obtenida y compara con la forma general \( ax^2+bx+c \).

 

 

 

• Expresa \(a,b \) y \(c \) en términos de \( r \) y \( s \) , y justifica algebraicamente las relaciones encontradas a lo largo de esta actividad.

 

• ¿Cómo cambian las expresiones de estos dos últimos puntos cuando consideramos el parámetro \( k \ne 1 \)?.

 

 

• Registra los resultados en las siguientes tablas: