Ecuaciones de Segundo Grado: Soluciones Complejas

Como se revisó en una actividad previa, hay ecuaciones de segundo grado que no tienen soluciones reales.

• Verifica que la ecuación \( x^2-2x+5=0 \) no tiene soluciones reales. Escribe enseguida tu procedimiento y comenta con tus compañeros.

 

 

Si graficamos el polinomio \(p(x)= x^2-2x+5 \) podemos verificar que la gráfica no interseca el eje de las \( x \).

• Incluye una imagen o un bosquejo de la gráfica en el siguiente espacio.

 

 

Si consideramos el conjunto de los números complejos, la situación cambia radicalmente. Se trata entonces de buscar números complejos que satisfagan la ecuación o, dicho de otro modo, que anulen el valor del polinomio al sustituir el valor de la variable. Los valores de la variable que anulan el valor del polinomio se conocen como raíces del polinomio.

Entonces encontrar las soluciones de la ecuación equivale a encontrar las raíces del polinomio correspondiente.

 

Evaluación de polinomios

• Evalúa el polinomio \(p(x)= x^2-2x+5 \) en \( x=1+i \) y determina si este número complejo es una raíz del polinomio. El valor obtenido se denota como \( p(1+i) \).

 

• Explora con varios números y determina si son, o no, raíces del polinomio.

 

 

Representaciones gráficas

En el siguiente applet se muestra la gráfica del polinomio \( p(x)= x^2+4x+8 \). En el plano cartesiano real, resulta evidente que este polinomio no tiene raíces reales. Pero la información sobre los valores de las raíces no reales no es tan evidente.

Si consideramos que, tanto la variable independiente como los valores que toma el polinomio, son números complejos, no podemos obtener una gráfica completa del polinomio, pues necesitaríamos cuatro dimensiones.

• Discute con tus compañeros el porqué de esta afirmación y escribe tus conclusiones en el siguiente espacio.

 

 

A pesar de tal situación, en el plano complejo, en el área derecha del applet, podemos representar un número complejo y calcular el valor que toma el polinomio en ese número.

• Evalúa manualmente \( p(1-i) \) y compara con la información que proporciona el applet.

 

 

Arrastra el número complejo mostrado en el applet y observa cómo cambia el valor del polinomio.

• ¿Es fácil encontrar, de esa manera, un valor para el que \( p(x)=0 \)? Describe tu experiencia.

 

 

El valor que toma el polinomio cuando lo evaluamos en un número complejo, es un número complejo en general, que en ciertos casos puede tener parte imaginaria o parte real igual a cero; es decir, puede ser un número real o un número imaginario puro, respectivamente.

 

Para encontrar los valores que anulan el polinomio, es posible realizar una exploración más sistemática: activa la casilla “Ver trayectoria de valores reales” y arrastra el punto que representa al número complejo en el que se está evaluando el polinomio.

• Observa los valores que toma el polinomio. ¿Cuál es su parte imaginaria? Anota tus conclusiones.

 

 

• Ahora, desactiva la casilla “Ver trayectoria de valores reales” y activa “Ver trayectoria de valores imaginarios” y repite la exploración. ¿Cuál es su parte real? Anota tus conclusiones.

 

 

Activa las dos casillas simultáneamente y reflexiona sobre la ubicación de los puntos que representan las raíces del polinomio. Considera que el valor que toma el polinomio debe ser cero, es decir, tanto su parte real como la parte imaginaria deben ser cero.

• Explica, entonces, cómo quedan representadas gráficamente las raíces del polinomio.

 

• ¿Cuántas son?

 

• Utiliza el applet para localizar gráficamente las raíces de los siguientes polinomios. Además de los valores, incluye un bosquejo o imagen de las raíces.

Construcción de Polinomios

Al igual como lo hicimos con los números reales, ahora abordaremos el problema inverso. Partiremos de dos números complejos, para construir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean esos números, lo que equivale a decir que construiremos un polinomio de segundo grado cuyas raíces sean esos números.

Explora en el siguiente applet la forma factorizada del polinomio de acuerdo a los números seleccionados como raíces.

 

• Completa la tabla con los valores propuestos, y agrega otros casos que consideres interesantes.

Analiza los polinomios que construiste. Algunos de ellos tienen coeficientes reales y otros tienen coeficientes no reales. En el caso que las raíces son reales, resulta evidente que el polinomio tendrá coeficientes reales.

• ¿En qué otros casos se logran polinomios con coeficientes reales?

 

Generaliza simbólicamente el resultado anterior:

• Si una raíz es \( a+bi \) ¿cuál debe ser la otra raíz para obtener un polinomio con coeficientes reales?

 

Prueba tu afirmación desarrollando el polinomio de manera general:

• Polinomio factorizado: \( p(x)=(x-a-bi)(x- \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ) \)

 

 

 

• Polinomio desarrollado: \( p(x)= \)