Ecuaciones de Tercer Grado: Soluciones Complejas

Como se revisó en una actividad previa, hay ecuaciones de tercer grado que tienen soluciones no reales.

• Resuelve las ecuaciones \( (x-1)^3=0 \) y \( x^3-1=0 \) y determina cuál de ellas tiene soluciones no reales. Escribe enseguida tu procedimiento y comenta con tus compañeros.

 

 

• Incluye una imagen o un bosquejo de las gráficas de los polinomios asociados a las ecuaciones anteriores en el siguiente espacio, y describe las principales diferencias entre ellas..

 

 

Representaciones gráficas

En el siguiente applet se muestra la gráfica de un polinomio de tercer grado. En el plano cartesiano real, resulta evidente que este polinomio tiene una raíz real simple. Pero la información sobre los valores de las raíces no reales no es tan evidente.

Como en el caso de los polinomios de segundo grado, en el área derecha del applet, se ha representado un número complejo y el valor que toma el polinomio en ese número.

Arrastra el número complejo mostrado en el applet y observa cómo cambia el valor del polinomio.

• Ubica en el plano complejo, la raíz real del polinomio y observa que \( p(x)=0 \).

 

 

Para encontrar las otras raíces activa las casillas que nos permiten visualizar las trayectorias donde se anulan, por una parte, las partes reales de los valores del polinomio, y por otra parte, las trayectorias donde se anulan las partes imaginarias.

Considera que, para tener una raíz, el valor que toma el polinomio debe ser cero, es decir, tanto su parte real como la parte imaginaria deben ser cero.

• Ubica gráficamente las raíces no reales del polinomio. ¿Cuáles son?

 

• ¿Cuántas raíces son en total?

 

• Utiliza el applet para localizar gráficamente las raíces de los siguientes polinomios. Además de los valores, incluye un bosquejo o imagen de las raíces.

Construcción de Polinomios

Al igual como lo hicimos con números reales, ahora partiremos de tres números complejos, para construir una ecuación de tercer grado cuyas soluciones sean esos números, lo que equivale a decir que construiremos un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean esos números.

Explora en el siguiente applet la forma factorizada del polinomio de acuerdo a los números seleccionados como raíces.

 

• Completa la tabla con los valores propuestos, y agrega otros casos que consideres interesantes.

Analiza los polinomios que construiste. Algunos de ellos tienen coeficientes reales y otros tienen coeficientes no reales. En el caso que las raíces son reales, resulta evidente que el polinomio tendrá coeficientes reales.

• ¿En qué otros casos se logran polinomios con coeficientes reales? Explica el porqué

 

• ¿Es posible construir un polinomio de tercer grado con coeficientes reales con tres raíces no reales? ¿Por qué?

 

• ¿Es posible construir un polinomio de tercer grado con coeficientes reales con una raíz no real y dos reales? ¿Por qué?