1. El Concepto de Derivada

A lo largo de este trabajo, como se mencionó en los objetivos, se supondrá que el alumno está familiarizado con la definición de derivada como un límite y con su interpretación geométrica como la pendiente de la recta tangente. En esta sección, recordamos la definición y utilizamos el Applet DESCARTES para simular lo que el profesor hace en el pizarrón, al presentar la interpretación geométrica de la derivada.


Definición: Se dice que la función f es derivable en el punto x, si el siguiente límite existe.

Al valor de este límite le llamamos LA DERIVADA de f en el punto x.


Recuerde que tomar límite cuando  h tiende a cero, significa que h es diferente de cero pero tan pequeño como se quiera, independientemente del signo. 

 Cuando la función es derivable en x, es decir que el límite existe, es indistinto obtener la aproximación a la pendiente de la recta tangente con valores positivos o negativos de h, con tal de que éstos sean muy pequeños.

A excepción de la parte correspondiente a la derivada de algunas funciones especiales, este trabajo analiza funciones derivables en todo punto,  lo que justifica que el cociente de diferencias aproxime a la derivada de la función, para valores de h muy pequeños. Por ello, para efectos didácticos, consideramos valores pequeños de h y siempre positivos.

Con el fin de recrear la interpretación geométrica de este concepto, sigamos las instrucciones que se presentan en la siguiente escena, por medio del control "Pasos". En el paso 0 se muestra la gráfica de la función f (x) = x2  y los valores de x = 0.5 y 
h = 1.5. A partir de esto, se presentan gráficamente los elementos que aparecen en la definición de derivada. 

Para efectos de visualización gráfica, supondremos que el cociente de diferencias es aproximadamente igual al valor de la derivada, es decir:

 

para valores "muy pequeños de h".

1.1  Aproximándonos con h positiva

Obsérvese que nos estamos aproximando a la recta tangente tomando valores positivos muy pequeños de h . Como mencionamos anteriormente, si la función es derivable, deberiamos también poder poder hacerlo para valores negativos  muy pequeños de h . 

 Aproximándonos con h negativa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2  Aproximándonos con h negativa

En la siguiente escena mostramos de nuevo la derivada de f(x) = x2 para valores negativos de h.