Al mirar con un poco de cuidado las gráficas de la fig. 8.6., se pueden deducir intuitivamente, resultados que permitirán comprender con mayor claridad la definición precisa de lo que significa: "ser una función continua en un punto dado de su dominio".
En la gráfica de la fig. 8.6. (a) se tiene:
i.. (Existe).
ii. f(a) existe.
Pero,. (Por esta razón f es discontinua) ¿Qué le sucede a la gráfica si f(a)= L?
Para la gráfica de la fig. 8.6. (b) se tiene:
i. No existe. (Por esta razón f es discontinua)
ii. f(a) = L₁(Existe).
Finalmente, para la gráfica de la fig. 8.6. (c) se tiene:
i. . (Existe).
(Por esta razón f es discontinua)
ii. f(a) (Existe).
iii.
Estas tres condiciones son las que en última instancia, permiten deducir intuitivamente que la función cuya gráfica aparece en la fig. 8.6. (c) es continua en el punto a.
Lo anterior nos permite establecer la siguiente definición.
Definición:
Una función f es CONTINUA EN x = a, si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones:
i. f(a) existe.
ii. existe.
iii.
Si al menos una de estas tres condiciones deja de cumplirse se dice que f es DISCONTINUA (NO CONTINUA) en x = a.
Observaciones:
i. Si en la definición anterior, sustituimos por o por, se dice entonces que f es continua a la derecha, respectivamente, a la izquierda del punto x = a.
ii. Algunos autores adoptan como definición de continuidad en un punto, la condición iii. de la definición anterior, esto es, f es continua en x = a, si y solo si,.
iii. Si en la definición de continuidad se hace: x = a + h; con a y (a + h) en el dominio de f, se dice entonces, que f es continua en a si y solo si,.
iv. Si f es discontinua en x = a y existe pero es diferente de f(a), se dice que la discontinuidad es REMOVIBLE O EVITABLE. En caso contrario, se dice que la discontinuidad es ESENCIAL.
Asi por ejemplo, la gráfica de la fig. 8.6. (a) corresponde a la gráfica de una función con discontinuidad Removible o evitable en x = a. Mientras que la gráfica de la fig. 8.6. (b) corresponde a la gráfica de una función con discontinuidad ESENCIAL en x = a.
v. Cuando una función tiene discontinuidad removible en un punto, se usa la frase "Remover la discontinuidad" para indicar que se puede redefinir la función haciendo que: y de esta manera obtener una nueva función continua en x = a. Considere por ejemplo, la función f definida por:
La gráfica de la función aparece en la fig. 8.7.

Si se analiza la continuidad de f en el punto x = 0, se tiene:

i. (Existe)
ii.f (0) = 3 (Existe)

Pero,; lo que indica que f es discontinua en x = 0. Ahora, como, la discontinuidad es evitable.
Se puede entonces, "remover" o "evitar" la discontinuidad, redefiniendo una nueva función de tal forma que. Esto es, redefiniendo a f asi:

Esta nueva función es continua en x = 0.
Es de anotar que la función f se ha redefinido y por lo tanto, no se trata de la misma función. ¿Porqué?
8.3.1. Teoremas sobre funciones continuas. Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, señalan importantes propiedades de las funciones continuas y son al mismo tiempo herramientas útiles que permiten deducir, en muchos casos, la continuidad de una función, sin recurrir directamente al empleo de la definición.
TEOREMA 1. (Algebra de funciones continuas)

Sean f, g dos funciones continuas en el punto x = a. Entonces:

i. (f + g) es continua en x = a. (Suma de funciones continuas es continua).

ii. (f – g) es continua en x = a. (Diferencia de funciones continuas es continua).

iii. (f × g) es continua en x = a. (Producto de funciones continuas es continua).

iv. es continua en x = a, si g(a) ¹ 0. (Cociente de funciones continuas es continua).

Consecuencias:

C.C.1. La función polinómica es continua en todo punto del eje real. En efecto, sea una función polinómica de grado n. 

Sea a un punto cualquiera del eje real. Al aplicar sucesivamente el teorema 1 en sus partes i., ii. y iii se obtiene que: 

y de aquí, P_n (x) es una función continua en todo punto del eje real. 

C.C.2. Toda función racional es continua en los puntos que no anulen el denominador de la función. 

Demostración: aplicar el teorema 1. 

TEOREMA 2. (Límite de la función compuesta)

Sean f y g dos funciones tales que: f es continua en b y. Entonces: .
Algunas consecuencias importantes de este teorema son las siguientes: 

C.C.3. Si, entonces,. Cuando n sea par, se debe cumplir además que b > 0.

C.C.4. Si, entonces,

Las consecuencias C.C.3. y C.C.4., se expresan respectivamente en palabras de la siguiente forma: "El límite de la raiz n-sima, es la raiz n-sima del límite y "El límite del valor absoluto, es el valor absoluto del límite".

C.C.5. (Continuidad de la función compuesta). Si g es continua en a y f es continua en
g(a), entonces (f o g) (x) = f (g(x)) es continua en a.

8.3.2. Continuidad En Un Intervalo
Definiciones:

i. Una función f es continua en un INTERVALO ABIERTO si y solo si, f es continua en TODO punto del intervalo.

ii.Una función f es continua en un INTERVALO CERRADO [a, b] si y solo si, f es continua en el intervalo abierto (a, b), continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b.

Definiciones similares se establecen para la continuidad de una función en un intervalo semiabierto de cualquiera de las formas: (a, b] ó [a, b).

Asi por ejemplo, la función (mayor entero menor o igual a x), es continua en los intervalos de la formaü , ya que en cada uno de estos intervalos, la función es constante.
Considere también la función f definida por:

y cuya gráfica aparece en la fig. 8.8.
Se desea analizar la continuidad de f en el intervalo [-1, 3]

i. f(2) = 4

ii.

iii. De i., ii., y iii. se concluye que f es continua en x = 2 y por lo tanto f es continua en el intervalo (-1, 3).

2. Continuidad por la derecha del punto x = -1
i. f(-1) = (-1)² = 1 (Existe)
ii. (Existe)

iii.
Luego f es continua por la derecha del punto x = -1.
3. Continuidad por la izquierda del punto x = 3
i. f(3) = 3 + 2 = 5 (Existe)
ii. (Existe)
iii. Asi que f es continua por la izquierda del punto x = 3.
De 1. 2. y 3. se concluye de acuerdo a la definición, que f es continua en el intervalo cerrado [-1, 3].