Paso 2. Determine el rango de f reemplazando sen (4x + p) en la función por sus valores mínimo, y máximo, -1, y 1, respectivamente, es decir: 2(-1) -1 = -2 – 1 = -3; y 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1. Así pues encontramos que el rango, es el intervalo, [-3, 1].

La amplitud de la gráfica es la mitad de la diferencia de los valores máximo y mínimo de la función, que en este ejemplo es [1 – (-3)]/2 = 2

Paso 3. En un sistema de coordenadas, bosqueje con líneas punteadas el rectángulo formado por las rectas x = -p/4 y x = p/4 (son los extremos del

intervalo que se obtuvo en el paso 1) y las rectas horizontales y = -3 y, y = 1 (son los extremos del intervalo del rango que se obtuvo en el paso 2.)

Paso 4. Divida el intervalo que se obtuvo en el paso 1 en cuatro partes. Al dividir el intervalo en cuatro obtenemos los siguientes valores, -p/4, -p/8, 0, p/8, y p/4.  Luego evaluamos la función en estos cinco valores como se muestra en a tabla.

Paso 5. Dibuje los cinco puntos obtenidos en el paso 4 y únalos con una curva suave, como se muestra en la gráfica

x

f(x)=2sen(4x+p)-1

2sen(0)–1=2(0)–1=-1

=2(1)–1=1
 

0

=2(0)–1=-1

=2(-1)–1=-3
 

=2(0)–1= -1

Paso1. Determine un intervalo cuya longitud es un período de la función, resolviendo la desigualdad siguiente; 0 £ 2x + p) £ 2p, cuya solución es -p/2 £ x £ p/2. El período de la función es (p/2)-(- p/2) = p.

Paso 2. Determinamos el rango. (a) 3(1) + 6 = 9; (b) 3(-1) + 6 = 3. Así el rango es el intervalo [9, 3]. La amplitud de la función es 9 – 3 = 6.

Paso 3. Bosquejamos un rectángulo formado por los intervalos -p/2 £ x £ p/2, y [3, 9].

Paso 5. Dibuje los cinco puntos obtenidos en el paso 4 y únalos con una curva suave, como se muestra en la gráfica

x

g(x) = 3 cos(2x + p) + 6

-p/2

g(-p/2)=3cos(0)+6=3(1)+6=9

-p/4

g(-p/4)=3cos(p/2)+6=3(0)+6=6

0

g(0)=3cos(p)+6=3(-1)+6=3

p/4

g(p/4)=3cos(3p/2)+6=3(0)+6=6

p/2

g(p/2)=3cos(2p)+6=3(1)+6=9

Solución: La tangente se puede definir de la siguiente manera  De aquí observamos que la

tangente está definida para toda x excepto aquellos para los cuales el cos x = 0, es decir para los valores de ±p/2, ±3p/2, ±5p/2, etc., en general para aquellos valores ±(2n +1) p/2, para algún entero n. Estos valores son asíntotas verticales de la función. La siguiente tabla muestra algunos valores de la tangente en el intervalo de -p/2 < x < p/2.

x

tanx

0

0

±p/6

±
 

±p/4

±1

±p/3

±
 

Solución: No hay una amplitud definida para la curva de la tangente pero el efecto de la multiplicación por el 2, es el de alargar la curva. Puesto que el período fundamental de la función tangente básica es p, el periodo de esta curva es p/(1/2) = 2p. La gráfica se muestra a la derecha.