3. OPERACIONES CON FUNCIONES.

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. En esta sección definiremos la composición de funciones y la función inversa de una función; estos dos conceptos –composición e inversión de funciones- son importantes en el desarrollo del cálculo. Reconocer una suma, producto, cociente o composición de funciones es útil porque permite descomponer funciones complicadas en otras más sencillas.

 

3.1 Álgebra de funciones.

En esta sección consideraremos las operaciones con funciones. Las funciones obtenidas a partir de estas operaciones –llamadas la suma, la diferencia, el producto y la división se definen como sigue:

Definición 3.1.

Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f + g está definida por

(f + g )(x) = f(x) +g(x)

El dominio de f + g es Df Ç Dg

Ejemplo 3.1.

Sea f(x) = x y g(x) = . Entonces (f + g) (x) = x + . El dominio de f es (-¥,¥) y el dominio de g es [0, ¥). Así el dominio de f + g es Df ÇDg = (-¥, ¥)  Ç [0, ¥) = [0, ¥).

Ejemplo 3.2.

Sea f(x) = x3 – 1 y g(x) = 4x. Si x = 3, entonces f(3) = (3)3 – 1 = 26 y g(3) = 4(3) = 12. Así, (f + g) (3) = f(3) + g(3) = 26 – 12 = 14.

Definición 3.2.

Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f - g está definida por

(f – g)(x) = f(x) - g(x)

El dominio de f - g es Df Ç Dg

Ejemplo 3.3.

Sea f(x) =  y g(x) = , entonces f( - g)(x) = f(x) – g(x) =  - . El dominio de f es [-1, ¥), y el dominio de g es [4, ¥). El dominio de f – g es Df Ç Dg = [-1, ¥) Ç [4, ¥) = [4, ¥).

 

Definición 3.3.

Sean f y g dos funciones y Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f × g está definida por

(f × g)(x) = f(x)× g(x)

El dominio de f × g es Df Ç Dg

 

Ejemplo 3.4.

Sea f(x) = x – 2 y g(x) = x + 2. Entonces (f×g)(x) = f(x) g(x) = ( x + 2 )( x - 2) = x2 - 4. El dominio de f es (-¥, ¥) y el dominio de g es (-¥, ¥). Por tanto el dominio de f × g es Df Ç Dg = (-¥, ¥).

Ejemplo 3.5.

Sea f(x) = | x | y g(x) = 5. Entonces (f ×g)(x) = f(x) g(x) = | x |×5. El dominio de f es 3 y el dominio de g es 3. Entonces el dominio de f × g es Df Ç Dg = 3. Si x = -2, entonces (f × g)(-2) = f(-2) × g(-2) = |-2|5 = 2×5 = 10.

Definición 3.4.

Sean f y g dos funciones y Df , Dg sus dominios respectivamente. Entonces la función f/g está definida por:

(f/g)(x) = f(x)/g(x) , g(x) ¹ 0

El dominio de f /g es Df Ç Dg excluyendo los valores de x para los cuales g(x) = 0.

Ejemplo 3.6.

Si f(x) = x + 4 y g(x) = x2 – 1. Entonces (f/g) (x) = f(x) / g(x) = x + 4/(x2 – 1). El dominio de f y el de g son los números reales. La función g(x) = x2 – 1 es cero para x = 1 y x = -1. Por lo tanto el dominio de f/g es R – {-1, 1}

Ejemplo 3.7.

Si f(x) =  y g(x) = . Encuentre (f/g) (x).

Solución:

El dominio de f es [0, ¥) y el dominio de g es (-¥, 0]. Entonces Df ÇDg = {0}, pero g(x) =  es cero para x = 0. Ahora el dominio de f/g es Df ÇDg excluyendo los valores para los cuales g(x) es igual a cero. Por lo tanto el dominio de f/g es el conjunto vacío. De donde se tiene que la función (f/g)(x) =  /  no tiene dominio.

Ejemplo 3.8

Sea f(x) =  y g(x) = 3x + 1. Encuentre a) la suma, b) la diferencia, c) el producto y d) la división de f y g.

Solución:

El dominio de f es el intervalo cerrado [-2, 2] y el dominio de g es 3. En consecuencia la intersección de sus dominios es [-2, 2] y las funciones pedidas están dadas por

a)      f(+g) (x) =  + (3x + 1)

b)      (f-g) (x) =  - (3x + 1)

c)      (f × g) (x) = () × (3x + 1)

d)     (f × g) (x) =  / (3x + 1)

El dominio de (a), (b) y (c) es el intervalo [-2, 2]. En la parte (d) la función g(x) = 3x + 1 es cero si x = -1/3 y por lo tanto el dominio es {x | -2 £ x £ 2, x¹ - 1/3}.