1.2. La Notación Funcional.

No deben confundirse los símbolos f y f(x); f representa la función no está ni en el dominio x ni en el rango y. Sin embargo f(x) es un elemento de y.

Ejemplo 1.6.   Objetivo. Mostrar el uso de la notación funcional:

Sea f la función definida por f(x) = 3x – 1. ¿Qué significa f (1)?

Solución.

                f(1) significa usar la función f para encontrar la imagen de x =1 bajo la función f.

También “f(1) = 2” es una manera breve y precisa de decir “el valor de la función cuando x = 1 es 2”.

Nótese en lo anterior que el símbolo “f(x)” únicamente reemplaza al símbolo “y” en la ecuación y = 3x – 1.

Ejemplo 1.7.

Objetivo. Utilizar la notación f para determinar ciertos valores funcionales:

Dada la función f definida por f(x) = x² + 1. Encontrar f (0), f(-2), f, f(x₁ + Dx). Dx es una variable que representa un cambio en la variable x.

Solución

Las funciones de mayor interés para nosotros son aquéllas cuyo dominio es un conjunto de números. En este texto, se utilizarán funciones reales de variable real, es decir el dominio de la función será el conjunto de los números reales 3 o un subconjunto de él, y el contradominio de f serán 3 o un subconjunto de él.

Si el dominio no se especifica, tomamos como dominio el conjunto más grande de números reales para el que la función esté definida.

Ejemplo 1.8

Objetivo: mostrar el método para determinar el dominio de una función cuando x es la variable independiente.

                Hallar el dominio de cada función

Solución.

(A)    Como no se puede dividir por cero, ningún denominador puede igualarse a cero. Por lo tanto, el dominio de f es el conjunto de todos los números reales excluido el número 2.

             D_f = {x| x Î R, x ¹ 2} o bien D_f = 3 - {2}

(B)       El dominador se factoriza: x² – x – 6 = (x-3) (x + 2). Este denominador es cero si x = 3 0 –2; por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los reales, excluidos el 3 y el –2. Es decir D_g = {x|xÎ 3, x ¹ -2, 3}

(C)       La raíz cuadrada de un número negativo, no es un número real. Dado que 16 – x es negativo para todo x > 16, el dominio de  es x £ 16 o bien (-¥, 16].

Definición 1.2

Las gráficas son muy útiles para describir el comportamiento de f(x) cuando x varía. También se puede describir la gráfica de f como el conjunto de puntos P(x, y) tales que y = f(x). Por lo tanto la gráfica de f coincide con la gráfica de la ecuación y = f(x) y si P(x, y) está sobre la gráfica de f, entonces la ordenada y es el valor de f en x. Es importante notar que, como a cada valor de x en el dominio de la función le corresponde un único valor de y, ninguna recta vertical puede interceptar la gráfica de la función en más de un punto.

                Los siguientes ejemplos tienen como objetivo el mostrar la gráfica de algunas funciones elementales.

Al trazar estos puntos, encontramos que la gráfica tiene la forma mostrada en la figura.

Ejemplo 1.10

Dada la función f con dominio  tal que f(x) = x² + 1 para toda x en . Dibuje la gráfica de f.

Ejemplo 1.11

Dibuje la gráfica de f suponiendo que

Al trazar estos puntos se obtiene la figura mostrada.

Ejemplo 1.12

Dibuje la gráfica de

Ejemplo 1.1.3

Dibuje la gráfica de f(x) = x³

Se dice que dos funciones f y g de X a Y son iguales y se escribe f = g, siempre y cuando f(x) = g(x) para toda x en Y.

Por ejemplo sean:

Puesto que  representa solamente la raíz cuadrada no negativa, entonces f = g pero f₁ ¹ g₁ Haciendo

f₂ (x) = |x|, x real

se deduce que f₂ = g₁

En la tabla del ejemplo 1.3 se ve que la función envía dos elementos distintos del dominio a un mismo elemento del contradominio, f (-1) = 2, f (1) = 2. Es decir, dos elementos distintos del dominio tienen la misma imagen. Si las imágenes fueran siempre diferentes, entonces a la función se le llama uno a uno.

Definición 1.3           

Si f es uno a uno entonces cada f(x) en el rango es la imagen de exactamente un x en X. Si todo elemento del contradominio Y es imagen de algún elemento del dominio X y f es uno, a uno, se dice que hay una correspondencia uno a uno entre X y Y. Un ejemplo de la correspondencia uno a uno. Un ejemplo de la correspondencia uno a uno es la asociación de los números reales con los puntos de una recta coordenada.

Ejemplo 1.17.           

         Sea  con x real. Demuestre que f es uno a uno.

Solución:

Si x₁ ¹ x₂ en , debemos probar que f(x₁) ¹ f(x₂). Es decir, probar que . Puesto que x₁ ¹ x₂, se tiene que x₁ + 1 ¹ x₂ + 1. De ahí . Por lo tanto f(x₁) ¹ f(x₂).

Ejemplo 1.18.

Sea g(x) = x² + 1, con x real. Demuestre que g no es uno a uno.

Solución:

La función f no es uno a uno ya que existen números diferentes en el dominio que tienen la misma imagen. Por ejemplo, aunque –2 ¹ 2, se tiene que g (-2) = 5 = g (2).

Si observamos las gráficas de las funciones de los ejemplos anteriores vemos que en el ejemplo vemos que en el ejemplo (1.6) donde la función es uno a uno, cualquier recta horizontal corta a la gráfica de la función en un solo punto. En cambio en la gráfica de la función g(x) = x² + 1, cualquier recta horizontal, arriba del eje de las c, corta a la gráfica en dos puntos.

l corta en solo un punto l

l corta en dos puntos l     g(x) = x2 +1

Definición 1.4

Ejemplo 1.19.

Determine si     i) h(x) = x³,         ii) g(x) = |x| y    iii) k(x) = 2x + 1 son funciones pares, impares o ninguna de las dos.

Solución.

i)       Sea a Î , h (-a) = (-a)³ = a³. Puesto que h (-a) = - h(a) entonces h es impar. Obsérvese que la gráfica de h es simétrica respecto al origen.

ii)      Sea a Î , g (-a) = |-a| = g(a). Por lo tanto g es par. Nótese que la gráfica de g es simétrica con respecto al eje y.

iii)     Sea a Î , k (-a) + 1 = -2ª + 1. Puesto que k (-a) ¹ k(a) y –k(a), f no es par ni impar. A continuación se muestran las gráficas de las funciones h, g y k.