3.3. Inversa de una función.

Supongamos que f es una función uno a uno con dominio X y rango Y. Esto significa que cada elemento y de Y se asocia con un solo elemento x de X. Podemos entonces definir una función g con dominio Y y rango X tal que

G(x) = x, si f(x) = y

La función g “manda” y con x, si la función f “manda” x con y. En cierto sentido la función g “deshace” lo hecho por la función f.

Como se ilustra en la figura, g(y) = x si f(x) = y. Esto significa que

g(y) = g(f(x)) = x, para cada x en X.

La función g se llama la función inversa de f y la función f se llama la función inversa de g de acuerdo con la siguiente definición.

Definición 3.6.

Si f es una función uno a uno con dominio X y contradominio Y, entonces una función g con dominio Y y contradominio X se llama función inversa de f si

(f◦g)(x) = f(g(x)) = X para cada x en Y

(g◦f)(x) = g(f(x)) = X para cada x en X

Algunas veces a la función g se le denota como f-1 pero el –1 no significa que sea exponente.

Ejemplo 3.12.

            Sea f(x) = 2x – 1 para todo número real. Encuentre la función inversa de f.

Solución:

                No es difícil mostrar que f es uno a uno con dominio y rango 3 y por lo tanto la función inversa existe. Pongamos y = 2x – 1 y despejamos x en términos de y.

Esta ecuación nos permite encontrar x cuando se nos dé el valor de y. Escribamos g(x) = , esta función nos permite calcular g(x) cuando se nos dé el valor de x. Proponemos a g como candidata a función inversa, verifiquemos

(g◦f)(x) = g(f(x)) =

(f◦g)(x) = f(g(x)) = 2g(x) – 1 = 2x + 1 – 1 = x

Por lo tanto g es la función inversa de f. Utilizando la notación f-1 equivalente tenemos que:

 

Ejemplo 3.13.

            Dado f(x) = x3 –1. Encuentre f-1, si ésta existe.

Solución:

La función f(x) = x3 – 1 es una función 1-1. Por lo tanto su inversa existe. Si f-1 existe, entonces por la definición 1.3.6 se tiene (f◦f-1)(x) = x. Así

(f◦f-1)(x)

=

f(f-1(x)) = x

 

=

(f-1(x))3 – 1 = x

 

=

(f-1(x))3 = x+1

 

=

f-1(x) =

 

Comprobamos la segunda condición tomando f-1(x) =

(f0-1f)(x)

=

f-1(f(x)) =

 

=

x + 1 – 1 = x

Ejemplo 3.14.           

            Encuentre la función inversa de f suponiendo que su dominio X es el intervalo [0, ¥) y f(x) = x2 + 2 para toda x en X.

Solución:

El dominio se restringió de manera que f fuera 1.1. El rango de f es el intervalo [2, ¥). Así como en el ejemplo 3.12 primero consideramos la ecuación y = x2 + 2.

Despejando x tenemos . Como x es no negativa descartamos  y consideramos solamente la ecuación , y proponemos a f-1 como f-1(x) =.

            A continuación comprobamos las dos condiciones de la definición 3.6

(f◦f-1)(x) = f(-1(x)) = f() = ()2 + 2 = x – 2 + 2 = x

(f-1◦f)(x) = f-1(f(x)) = f-1(x2+2) =

Esto demuestra que

f-1(x) = x + 2               para x ³ 2.