1. FUNCIONES Y SUS GRAFICAS.

                Una de las grandes inquietudes de los seres humanos a través de la historia ha sido la de describir los fenómenos naturales, sus cambios y las relaciones entre unos y otros. Desde hace tiempo, el hombre ha estudiado ciertos fenómenos naturales y ha expresado este conocimiento a través de fórmulas que interrelacionan las magnitudes que caracterizan a dichos fenómenos; por ejemplo:

Ejemplo 1.1.   Para una cierta dosis de x centímetros cúbicos de una droga la presión sanguínea resultante P está dada por:

B = 0.5x² – 0.3x³

Ejemplo 1.2.   El interés sobre una inversión de $4000.00 a razón de 40% anual está dado por:

I = 0.40 (4000) t

donde t es el número de años.

Ejemplo 1.3.   La ley de Boyle establece que para un gas ideal a temperatura constante, si el volumen es de v unidades, la presión P es igual a:

P = k/v

siendo k un número fijo.

Ejemplo 1.4.   Cuando se producen x toneladas de una cierta mercadería, el producto recibe un beneficio de $ B pesos por mes, siendo:

B = 1500 + 15x² – x³

Este tipo de relaciones motivaron el origen del concepto de función.

                En cada uno de los ejemplos anteriores se encuentra una variable que depende de otra; así vemos que:

en el ejemplo 1), la presión sanguínea P depende de la dosis de x

en el ejemplo 2), el interés depende del número de años t

en el ejemplo 3), la presión P del gas depende de las unidades del volumen v

en el ejemplo 4), el beneficio B depende de las x toneladas producidas.

En otros términos:

                               La presión sanguínea P está en función de x

                               El interés I está en función de t

La presión P del gas está en función de v

El beneficio B está en función de x.

Por esta razón es común llamar a x, t, v, x variables independientes y a P, I, P, B variables dependientes respectivamente.

Consideremos el ejemplo 1.2.

El interés sobre una inversión de $4000.00 a razón de 40% anual está dado por:

I = 0.40 (4000) t

donde t es el número de años.

Calculemos el interés para distintos valores de t.           

Siguiendo el procedimiento anterior, obtenemos la siguiente tabla:

en la cual se observa que a cada valor de la variable independiente t le corresponde un único valor de la variable dependiente I. Este tipo de correspondencia es el que caracteriza a una función. Obsérvese además que tanto la variable independiente t como la variable dependiente I toma sólo valores mayores que cero, puesto que en este problema no tiene sentido hablar de tiempos e intereses con valores negativos.

                El conjunto de valores posibles que puede tomar la variable independiente se llama dominio de la función y los valores correspondientes de la variable dependiente forman el conjunto de imágenes de la función o rango de la función.

                Ahora daremos la definición de función:

Definición 1.1.

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de X un único elemento y de Y. El elemento y se llama la imagen de x bajo f y se denota por f(x). El conjunto X se llama el dominio de la función y el conjunto Y contradominio. El rango de la función consta de todas las imágenes de los elementos de X    

Ejemplo 1.5.

Objetivo: Ilustrar el concepto de función.

Ejemplo A. Representemos por y la distancia en metros que una piedra recorre al caer desde un edificio en x minutos.

Ejemplo B. Sea C = {(1,2), (1,-2), (3,6)}

Ejemplo C. Sea D = {(1,3), (2,3), (-1,3), (-2,3)}

Verificar si en cada ejemplo se cumple la definición de función