Teoremas fundamentales sobre límites

En los apartados anteriores hemos determinado el límite de una función en un punto, utilizando para ello la representación gráfica de la función. Sin embargo, se hace necesario poseer otros criterios que permitan agilizar el proceso. Con este fin es que estudiaremos algunos teoremas básicos para determinar el límite de una función en un punto.

  Teorema 1 (sobre la unicidad del límite) 
  Sea $f$ una función definida en un intervalo $I \subset I\!\!R$ tal que $a \in I$.
Si $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=L}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=M}$ entonces $L=M$.
 

O sea, el valor del límite de una función en un punto es único.
 

  Teorema 2
  Si $m\;\;\mbox{y}\;\;b$ son números reales entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{(mx+b)}=ma+b}$

Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{(3x+5)}=3\cdot 2+5=11}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3}}{(-4x+2)}=-4\cdot 3+2=-10}$

Ejercicio:
Determine cada uno de los siguientes límites:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3}}{(5x-2)}}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\sqrt{2}}}{\left(\frac{2}{3}x+1\right)}}$

Como consecuencia del teorema anterior se tiene que:

a. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{x}=a}$ con $m=1$, $b=0$ en $f(x)=\; mx\; + b $
 
b. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{b}=b}$ con $m=0$ en $f(x)=\; mx\; + b $
 

 Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{5}}{x}=5}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1}}{\left(\frac{7}{2}\right)}=\frac{7}{2}}$
  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\sqrt{2}}}{x}=\sqrt{2}}$
  4. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\frac{-1}{5}}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}}$
  Teorema 3
  Si $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=L}$ y $k$ es un número real entonces se cumple que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{k\;f(x)}=k\;\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=k\;L}$
 

 Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{3(2x+5)}=3\;\lim_{x \rightarrow{2}}{(2x+5)}=3(2\cdot 2+5)=27}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1}}{\frac{1}{5}(3x)}=\lim_{x \rightarrow{-1... ...5}(x)}=\frac{3}{5}\;\lim_{x \rightarrow{-1}}{(x)}=\frac{3}{5}(-1)=\frac{-3}{5}}$

Ejercicio:
Determine cada uno de los límites siguientes:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\sqrt{2}}}{\frac{5}{4}(2x-1)}}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{r}}{3\;\left(3x+\frac{1}{5}\right)}}$
  Teorema 4
  Si $f(x)=\sqrt{x}\;\;\mbox{con}\;\;x \geq 0$ entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{\sqrt{x}}=\sqrt{a},\;\;\mbox{con}\;\;a\geq 0}$.

 Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{5}}{\sqrt{x}}=\sqrt{5}}$
  2. $\displaystyle {\lim_{y \rightarrow{\frac{1}{2}}}{3\sqrt{y}}=3\;\lim_{y \rightarrow{\frac{1}{2}}}{\sqrt{y}}=3\;\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}}$

Ejercicio:
Determine los límites indicados.

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{4\sqrt{x}}}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{5\sqrt{x}}}$
  Teorema 5
 
Si $f$ y $g$ son dos funciones para las que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=L}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}=M}$ entonces se cumple que:
$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)+g(x)]}=\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}+\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=L+M}$
 

  Este teorema lo que nos dice es que el límite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los límites de cada una de las funciones.
Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3}}{2x+\sqrt{x}}=\lim_{x \rightarrow{3}}{2x}+\lim_{x \rightarrow{3}}{\sqrt{x}}=2\cdot 3+\sqrt{3}=6+\sqrt{3}}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{5+3\sqrt{x}}=\lim_{x \rightarrow{2}}{5}+\lim_{x \rightarrow{2}}{3\sqrt{x}}=5+3\sqrt{2}}$

Ejercicio:
Determine los límites siguientes:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{5}}{5\sqrt{x}+2}}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\frac{5}{3}}}{(2x+7)}}$

El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones.  

  Teorema 6
 
Si $f$ y $g$ son dos funciones para las que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=L}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}=M}$ entonces se cumple que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)\cdot g(x)]}=L\cdot M}$
 

Es decir, el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de cada una da las funciones. Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{x\sqrt{x}}=\lim_{x \rightarrow{2}}{x}\cdot \lim_{x \rightarrow{2}}{\sqrt{x}}=2\sqrt{2}}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1}}{x^{2}}=\lim_{x \rightarrow{-1}}{x\cdot x}= \lim_{x \rightarrow{-1}}{x}\cdot \lim_{x \rightarrow{-1}}{x}=(-1)\cdot (-1)=1}$
  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{2\sqrt{x}(5x+2)}= \lim_{x \rightarrow{2}... ...}}\cdot \lim_{x \rightarrow{2}}{(5x+2)}=2\sqrt{2}\cdot (5\cdot 2+2)=24\sqrt{2}}$

Ejercicio:
Determine el valor de cada uno de los límites siguientes:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{x^{2}\sqrt{x}}}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{5}}{x^{3}}}$

El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones

  Corolario
 
Si $f(x)=x^{n}$ entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{x^{n}}=a^{n},\;\;\mbox{con}\;\;n \in I\!\!N}$

Observe que $x^{n}=x \cdot x \cdot x ... x$ (n factores) por lo que aplicando el teorema anterior se tiene que:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{x^{n}}=\lim_{x \rightarrow{a}}{[x \cdot ... ...{x \rightarrow{a}}{x}\cdot \lim_{x \rightarrow{a}}{(x \cdot x \cdot x ... x)} }$
$\displaystyle {=\lim_{x \rightarrow{a}}{x}\cdot \lim_{x \rightarrow{a}}{x}\cdot \lim_{x \rightarrow{a}}{(x \cdot x \cdot x ... x)}=}$ $\begin{array}{c} \underbrace{\displaystyle {...\lim_{x \rightarrow{a}}{x}\cdot ... ...ghtarrow{a}}{x}...\lim_{x \rightarrow{a}}{x}}}\\ \mbox{n factores} \end{array}$
$\displaystyle {=a\cdot a\cdot a...a}$ (n factores)
$=a^{n}$
Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\frac{2}{3}}}{x^{5}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{5}}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1}}{2x^{8}}=2\;\lim_{x \rightarrow{-1}}{2x^{8}}=2({-1})^{8}=2}$

En particular, el límite de la enésima potencia de $f(x)$ es igual a la enésima potencia del límite de $f(x)$. Es decir $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{[f(x)]^{n}}=\left[\;\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}\right]^{n}}$
Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{(3x+5)^{6}}=\left[\;\lim_{x \rightarrow{2}}{(3x+5)}\right]^{6}=[3\cdot 2+5]^{6}=11^{6}}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1}}{(x^{2}+3x)^{5}}=\left[\;\lim_{x \rightarrow{-1}}{(x^{2}+3x)}\right]^{5}=[(-1)^{2}+3(-1)]^{5}=(-2)^{5}=-32}$
  Teorema 7
 
Si $f$ y $g$ son dos funciones para las cuales $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=L}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}=M}$ entonces se tiene que:
$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}}{\lim_{x \rightarrow{a}}{g(x)}}=\frac{L}{M}}$ siempre que $M\neq 0$
 
  Teorema 8
 
  $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{a}}$ siempre que $a \neq 0$
 

  Ejemplos de los teoremas 7 y 8

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{5}}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{5}}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3}}{\frac{4}{x}}=\lim_{x \rightarrow{-3}}{4... ...}{x}}=4\;\lim_{x \rightarrow{-3}}{\frac{1}{x}}=4\cdot\frac{1}{-3}=\frac{-4}{3}}$
  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{2x+1}{\sqrt{x}}}=\frac{\displaysty... ...m_{x \rightarrow{2}}{\sqrt{x}}}=\frac{2\cdot 2+1}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}}$ (se aplicaron los teoremas 2 y 4)
  4. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3}}{\frac{2x^{2}+3}{x^{3}-1}}=\frac{\displa... ...{x \rightarrow{-3}}{2x^{2}+3}}{\displaystyle\lim_{x \rightarrow{-3}}{x^{3}-1}}}$ (por teorema 7)
    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-3}}{\frac{\displaystyle\lim_{x \rightarrow... ...tyle\lim_{x \rightarrow{-3}}{x^{3}}-\displaystyle\lim_{x \rightarrow{-3}}{1}}}}$ (por teorema 5)
    $=\displaystyle {\frac{2(-3)^{2}+3}{(-3)^{3}-4}}$ (Por teorema 3 y corolario del teorema 6)
    $=\displaystyle {\frac{-21}{28}=\frac{-3}{4}}$
  5. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3}}{\frac{\sqrt{x}+x-2}{x^{2}-3x+1}}=\frac{\sqrt{3}+3-2}{(3)^{2}-3(3)+1}=\sqrt{3}+1}$

Observe que en este ejemplo se han aplicado directamente los teoremas estudiados, sin hacer el desglose paso por paso como en el ejemplo anterior.

Ejercicio:
Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:
 

  1. $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1}}{\frac{2x+3}{x^{2}-5x+1}}}$
  2. $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{9}}{\frac{2\sqrt{x}+4x-5}{3x^{3}-5}}}$
  Teorema 9
 
Si $n\in I\!\!N\;\;\mbox{entonces}\;\;\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[n]{a}}$ si:
 (1) $a$ es cualquier número positivo.
 (2)  $a\leq 0\;\;\mbox{y}\;\;n$ es impar.

Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{5}}{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[3]{5}}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{\sqrt[4]{x}}=\sqrt[4]{2}}$
  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-8}}{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[3]{-8}=-2}$
  4. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{64}}{\sqrt[6]{x}}=\sqrt[6]{64}=2}$
  Teorema 10
Si $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=L}$, entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{\sqrt[n]{f(x)}}=\sqrt[n]{\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}}=\sqrt[n]{L}}$ . Si e cumple alguna de las condiciones siguiente:
(1) $L\geq 0\;\;\mbox{y}\;\; n$ es cualquier entero positivo ($n\in I\!\!R$).
(2) $L\leq 0\;\;\mbox{y}\;\;n$ es un entero impar positivo.

Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3}}{\sqrt{5x+3}}=\sqrt{\lim_{x \rightarrow{3}}{5x+3}}=\sqrt{18}}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1}}{\sqrt[3]{2x^{2}+3}}=\sqrt[3]{\lim_{x \rightarrow{-1}}{2x^{2}+3}}=\sqrt[3]{2(-1)^{2}+3}=\sqrt[3]{5}}$
  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-2}}{\sqrt[5]{6x+2}}=\sqrt[5]{\lim_{x \rightarrow{-2}}{6x+2}}=\sqrt[5]{-28}=-\sqrt[5]{28}}$

Ejercicio:
Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{\sqrt[4]{\frac{x^{2}+1}{2}}}}$
  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-5}}{\sqrt[6]{5x^{2}+\frac{5}{x}+4}}}$