20.  Problema:

La fuerza tensil S de un nuevo plástico varía con la temperatura T de acuerdo a la fórmula S = 500 + 600T - 20T². ¿Para qué renglón de temperatura podremos hacer que la fuerza tensil sea mayor de 4,500?

Como queremos que S > 4,500 y S = 500 + 600T - 20T², al sustituir en la desigualdad tenemos que:

500 + 600T - 20T² > 4,500

O sea,

-20T² + 600T - 4,000 > 0.

Si multiplicamos por –1/20 ambos lados de la desigualdad anterior, tendremos:

T² - 30T + 200 < 0

(T - 10)(T - 20) < 0

Considerando los dos posibles casos para resolver la desigualdad anterior, obtenemos que: 10<T<20. Resuelve la desigualdad (T - 10)(T - 20) < 0 como en el ejemplo 18.

21.   Resolver la desigualdad cuadrática

Solución: Restamos 12 a ambos lados y tenemos lo siguiente

factorizamos esta expresión y obtenemos

Ahora, para que el producto de estos dos binomios sea negativo se requiere que los factores tengan signos opuestos. Así consideraremos los dos casos siguientes:

(a)      (x + 4)> 0, y (2x -3) < 0. Despejando x, tenemos que estas desigualdades son equivalentes a las siguientes:

x > -4, y x < 3/2.

Intersectando estas dos desigualdades encontramos que se reducen a la siguiente -4 < x < 3/2.

(b)      (x + 4)< 0, y (2x -3) > 0. . Despejando x, tenemos que estas desigualdades son equivalentes a las siguientes:

x < -4, y x >3/2.

Si intersectamos estas dos desigualdades encontramos que no tienen ningún elemento en común.

En conclusión, la desigualdad  es válida sólo en el intervalo siguiente -4 < x < 3/2. Gráficamente

22.   Resuelva la desigualdad cuadrática 3x² –x > 2.

Solución: Pasamos todos los términos distintos de cero a la izquierda de la desigualdad y factorizamos.

3x² – x > 2.

Pasamos el 2 restando y se tiene 3x² - x - 2 > 0. Factorizamos esta expresión y tenemos 3x² - x - 2 = (3x + 2)(x - 1) = 3(x + 2/3)(x – 1) > 0.

 Observamos que para x = -2/3 y x = 1 estos factores son cero. Estos números a los que les llamaremos puntos de separación dividen la recta en tres intervalos.

Estos intervalos son (-∞, -2/3), (-2/3, 1) y (1, +∞). En cada uno de estos intervalos el producto (x + 2/3)(x – 1) tiene signo positivo o negativo. Para encontrar el signo de este producto en cada intervalo tomaremos un valor de prueba en cada uno de los intervalos. Los valores que tomaremos son: -1, 0, 2.

A continuación remplazamos los puntos de prueba en (x + 2/3)(x – 1), con la intención de buscar para que valores de x este producto es positivo.

 En x = -1 tenemos (-1 + 2/3)(-1 – 1) = 2/3

 En x = 0 tenemos (0 + 2/3)(0 – 1) = -2/3

 En x = 2 obtenemos (2 + 2/3)(2 – 1) = 8/3

Con esta información concluimos que (x + 2/3)(x – 1) > 0 se cumple en los intervalos (-∞, -2/3) y (1, +∞).La representación gráfica es la siguiente: