Introducción al Cálculo Diferencial e Integral
Números Reales
9. Resolver la desigualdad 4 < 2x – 3 < 8. |
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Solución. Despejando x. |
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4 < 2x – 3 < 8 4 + 3 < 2x – 3 + 3 < 8 +3 7 < 2x < 11 |
Sumamos 3, utilizando la propiedad 3. |
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Multiplicamos por (1/2), utilizando la propiedad 4 encontramos que la solución es el intervalo abierto
La gráfica se muestra a la izquierda. |
10. Problema.
La temperatura en escala Fahrenheit y Celsius (centígrados) están
relacionados por la formula |
Solución: Como 40° ≤ C ≤ 50° y la desigualdad anterior se convierte en:
Si resolvemos la anterior desigualdad anterior tendremos: 360 ≤ 5F( - 32) ≤ 450 72 ≤ F -32 ≤ 90 104 ≤ F ≤ 122 |
11. Resolver la desigualdad 2x + 1 £ 4x – 3 £ x + 6 y graficar la solución en la línea recta. |
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Solución: Como cada parte de esta desigualdad contiene la variable x, para resolverla la separamos en las dos siguientes (a) 2x + 1 £ 4x – 3 y (b) 4x – 3 £ x + 7 y resolvemos cada una por separado. |
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(a) Despejamos x a la derecha sumando 2x y -3 a ambos lados 2x + 1 £ 4x – 3 2x -2x + 1 + 3 £ 4x -2x – 3 +3 4 £ 2x . Luego multiplicamos por (1/2)
2 £ x. La solución a esta parte es el intervalo [2, +¥) y su gráfica es:
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(b) Despejamos x a la izquierda sumando x y +3 a ambos lados. 4x – 3 £ x + 6 4x – x - 3 + 3 £ x –x + 6 + 3 3x £10. enseguida multiplicamos por (1/3)
intervalo (-¥, 3]. Y su representación en la línea recta es:
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Para encontrar la solución de la desigualdad 2x + 1 £ 4x – 3 £ x + 6, debemos de intersectar las soluciones de los incisos (a) y (b). Es decir, la solución son todos los números que están tanto en el intervalo [2, +¥) como en el intervalo (-¥, 3].
Como se observa los números comunes están en el intervalo [2, 3]. Así, este intervalo es la solución a la desigualdad.
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12. Resolver la desigualdad -x £ -2x + 4 £ x -6 y graficar la solución en la línea recta. |
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Solución: Puesto que cada parte de la desigualdad contiene la variable x la separamos en dos desigualdades para encontrar la solución. Así pues tenemos que resolver (a) 10 -x £ -2x + 4 y (b) -2x + 4 £ x -6. |
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(a) Solución de: 10 -x £ -2x + 4 Despejamos x a la izquierda sumando, -10 y, +2x a ambos lados. 10 – 10 -x + 2x £ -2x + 2x + 4 -10. Así obtenemos x £ -6. De donde la solución a esta parte es el intervalo (-¥, -6).
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(b) Solución de: -2x + 4 £ x -6 Despejamos x a la izquierda sumando –x, y, -4 a ambos lados -2x –x + 4 -4 £ x – x -6 -4. De esta manera se obtiene -3x £ -10. Ahora multiplicamos por (-1/3) ambos lados de la desigualdad (-1/3)( -3x ) ≥(-1/3)(-10) y obtenemos x ≥ 10/3. Así la solución es el intervalo (10/3, +¥).
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La solución de la desigualdad del problema 9 es la intersección de las soluciones de los casos (a) y (b), es decir, la intersección de los intervalos x £ -6 y x ≥ 10/3. Sin embargo al reunir las dos gráficas en una sola se observa que estos intervalos no tienen ningún número en común. Por lo tanto la desigualdad 9 no tiene solución.
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