Problema 2. El alimento para un animal ha de ser una mezcla de dos productos alimenticios, cada unidad de los cuales contiene proteína, grasas, y carbohidratos en el número de gramos que se da en el cua­dro siguiente:

Cada bolsa de la mezcla resultante tiene que contener cuando menos 40 gramos de proteínas, 1.8 gramos de grasas, y 120 gramos de carbohidra­tos. Suponiendo que cada unidad del producto alimenticio 1 cueste 60 centavos y que cada unidad del producto alimenticio 2 cues­te 40 centavos, ¿cuál es la mezcla óptima?

Solución. Como cada unidad del producto alimenticio 1 contiene 10 gramos de proteínas y cada unidad del producto 2 contiene 5 gramos de proteínas, y como cada bolsa de la mezcla debe contener al menos 40 gramos de proteínas, una desigualdad que debe satisfacerse es

donde x representa el número de unidades del producto alimenticio 1 y y el número de unidades del producto alimenticio 2 en la mezcla. Análogamente, las otras desigualdades relevantes son

También tenemos como en el ejemplo anterior, la limitación de la no negatividad

   y

Puesto que cada unidad del producto 1 cuesta 60 centavos y cada unidad del producto 2 cuesta 40 centavos entonces la función objetivo a minimizar está definida por

C = 0.6x + 0.4y

El siguiente paso es graficar las desigualdades

La solución de (1) es el punto (9, 1) y el de (2)  (2.4, 3.2). Para encontrar la mínima reemplazamos estos puntos en la función objetivo

(0, 8),           C = 0.6(0) -0.4(8) = 3.2

(2.4, 3.2),     C = 0.6(2.4) + 0.4(3.2) = 2.72

(9, 1),           C = 0.6(9) + 0.4(1) = 5.8

Así encontramos que la solución óptima es 2.4 Kg. del producto 1 y  3.2 Kg. del producto 2 y el menor de los costos es de $2.72.

Problema 3.

Una dulcería tiene 75 libras de nueces y 120 libras de cacahuates que se van a empacar mezclados en paquetes de 1 libra en la siguiente forma: una mezcla que contiene 4 onzas de nueces y 12 onzas de cacahuates y otra mezcla que contiene 8 onzas de nueces y 8 onzas de cacahuates. En la primera mezcla se obtiene una ganancia de $ 0.25 por paquete y en la segunda se logra una ganancia de $ 0.45 por paquete. ¿Cuántos paquetes de cada mezcla se deben hacer para obtener la ganancia máxima?

Primero observamos que hay dos variables. Sean

x =número de paquetes de la primera mezcla

y = número de paquetes de la segunda mezcla

La ganancia P está dada por la función lineal

P = ($0.25)x + ($0.45) y

Las restricciones sobre x y y son

x ≥ 0,   y ≥ 0

pues x y y representan el número de paquetes y no tiene sentido que estas cantidades sean negativas. También existe un límite para el número de libras de nueces y cacahuates disponibles: el número total de libras de nueces no puede exceder a 75 libras (1200 onzas) y el número de libras de cacahuates no puede ex­ceder a 120 libras (1920 onzas). Esto significa que

4x + 8y ≥ 1200

12x + 8y ≥ 1920

El problema de programación lineal consiste en maximizar la función objetivo (ganancia).

P = $0.25x + $0.45y                                                  (3.1)

sujeta a las condiciones

x + 2y ≤ 300,  3x + 2y ≤ 480,              x>_0,   y ≥ 0              (3.2)

Ahora sólo necesitamos resolver cada par de ecuaciones lineales de (3.2) para encontrar sus puntos de intersección, pues sabemos que, si existe solución, ésta debe localizarse en un vértice. Si hacemos esto encontramos que los vértices del conjunto formado por las soluciones factibles son

(0,0),   (0,150),           (160,0),           (90,105)

Entonces se obtiene una ganancia máxima al hacer 90 paquetes de la primera mezcla y 105 de la segunda. La ganancia máxima obtenida en estas condiciones es $69.75.