9. Solución Gráfica a Problemas de Programación Lineal.

Un problema de programación lineal en dos variables se puede representar y resolver gráficamente. A continuación se ilustrará la naturaleza general de los problemas de programa­ción lineal.

Un  problema del tipo mencionado tiene dos clases de expresiones:

(1) Una función lineal por maximizar o minimizar llamada función objetivo.

(2) Un conjunto de desigualdades lineales que deben satisfacerse simultáneamente llamadas restricciones estructurales.

El procedimiento para resolver un problema de programación lineal es el siguiente:

  1. Encontrar una expresión para la función objetivo que se va a maximizar o a minimizar.

  2. Hacer una lista de todas las restricciones (desigualdades).

  3. Graficar las restricciones  para encontrar el polígono de soluciones.

  4. Comparar las pendientes de la función objetivo con las de las restricciones. Si la pendiente de la función objetivo es distinta a las de las restricciones, la solución es única, en caso contrario hay muchas soluciones.

  5. Encontrar los vértices del polígono formado por las restricciones

  6. Determinar el valor de la función objetivo en cada vértice.

Problema 1. Una empresa productora de alimentos para animales necesita proporcionar como parte integrante de su producto tres vitaminas diferentes con requisitos mínimos que debe cumplir. Las vitaminas se pueden obtener en diferentes can­tidades de la materia prima A, que cuesta $ 9.00 el Kg. Igualmente se pueden obtener de la materia prima B, que cuesta $ 7.00 el Kg. Ahora bien, la materia prima A contiene 15 unidades de la vita­mina 1, 20 unidades de la vitamina 2 y 15 unidades de la vitamina 3. La materia prima B contiene 10 unidades de la vitamina 1, 5 unidades de la vitamina 2 y 25 unidades de la vitamina 3. Las ne­cesidades mínimas que debe cumplir el producto terminado son 60 unidades de la vitamina 1, 40 unidades de la vitamina 2 y 75 unidades de la vitamina 3.

Si se desea determinar la combinación ideal de materias pri­mas para minimizar los costos de producción, determine lo si­guiente:

1. El planteamiento algebraico de las restricciones.

2. La ecuación del costo de producción que se trata de mini­mizar.

3. El nivel óptimo de utilización de las materias primas A y B.

4. El costo mínimo posible, utilizando la combinación óptima de las materias primas.

Solución

Como primer paso, organicemos la información en una tabla.

 

Materia Prima

 

A

B

Necesidades mínimas

 

Vitamina 1

15

10

60

 

Vitamina 2

20

5

40

 

Vitamina 3

15

25

75

 

Costos por Kg.

$9.00

$7.00

Costo $?

 

Ahora asignamos nombres a las variables controlables.

Representemos por x la cantidad de kg que contendrá el producto terminado de la materia prima A y por y la cantidad de kg que contendrá el producto terminado de la materia prima A

El segundo paso consiste en plantear las restricciones que en este caso sí aceptan un exceso pero nunca una deficiencia en las vitaminas. Lo haremos de la siguiente forma.

 

Como cada kg de la materia prima contiene 15 unidades de la vitamina 1 y cada kg de la materia prima B contiene 10 unidades de la vitamina1, entonces 15x + 10y representa el total de vitamina 1 que contendrá el producto terminado, y puesto que el producto terminado debe de contener un mínimo de 60 unidades de la vitamina 1 entonces una desigualdad que debe de satisfacerse es:

Continuando así tenemos las siguientes restricciones:

Restricciones.

Vitamina 1:          

Vitamina 2:          

Vitamina 3:          

donde los valores de x y y deben ser positivos o igual a cero, es decir,

   y

Ahora puesto que cada kg de la materia prima A cuesta $9.00 y el de B $7.00 entonces el costo del producto terminado es 9x + 7y. y así tenemos que la función objetivo a minimizar es:

C = 9x + 7y

El paso siguiente es encontrar la solución grafica de las desigualdades. Para esto, se despeja el valor de y en cada desigualdad.

   pendiente = -3/2

       pendiente = -4

   pendiente = -3/5.

Obsérvese que la pendiente de la función objetivo, que es -9/7 es distinta a la pendiente de todas las restricciones, lo que nos indica que la solución es única.

A continuación se muestra la grafica de las restricciones, o sea, el polígono de soluciones. Puesto que hay una única solución, ésta dada dada por uno de los vértices del polígono de soluciones. Así, el siguiente paso es encontrar los vértices del polígono de soluciones. Dos de ellos son obvios, y estos son los puntos (0, 8) y (5, 0). Los otros son las intersecciones entre las rectas.

(1)  y = 8- 4x, y, y = 6- (3/2)x, y

(2) y = 6 – (3/2)x con y = 3 – (3/5)x.

Resolviendo los dos sistemas de ecuaciones, encontramos que la intersección entre las rectas (1) es el punto (4/5, 24/5) y el de (2) es el punto  (30/9, 1).

Así los vértices del polígono de soluciones son: (0, 8), (5, 0), (4/5, 24/5) y (30/9, 1). Para encontrar la solución óptima reemplazamos estos puntos en la función objetivo C = 9x + 7y.

Para (0, 8), C = 9(0) + 7(8) = 56

Para (5, 0), C = 9(5) + 7(0) = 45

Para (4/5, 24/5), C = 9(4/5) + 7(24/5) = 40.8

Para (30/9, 1), C = 9(30/9) + 7(1) = 37

De esta manera encontramos que el costo mínimo es $37.00 y se obtiene con la siguiente proporción:

Materia prima A = 30/9 = 3.3 Kg.

Materia prima B = 1 Kg.