Ejemplo 10. El alimento para un animal ha de ser una mezcla de dos productos alimenticios, cada unidad de los cuales contiene proteína, grasas, y carbohidratos en el número de gramos que se da en el cua­dró siguiente

Cada bolsa de la mezcla resultante tiene que contener cuando menos 40 gramos de proteínas, 1.8 gramos de grasas, y 120 gramos de carbohidra­tos. Grafíquese el sistema de desigualdades que muestra las mezclas que satisfacen estos requisitos.

Solución. Como cada unidad del producto alimenticio I contiene 10 gramos de proteínas y cada unidad del producto II contiene 5 gramos de proteínas, y como cada bolsa de la mezcla debe contener al menos 40 gramos de proteínas, una desigualdad que debe satisfacerse es

Tenemos también, como en el ejemplo precedente, la limitación de la no negatividad

x≥0   y≥0

La figura 10.1 nos muestra las mezclas que satisfacen estos re­quisitos.

Ejemplo 11.

Grafique el sistema

2x - y + 4 < 0

x + y + 1 ≥ 0                     (11.1)

Las rectas que corresponden a cada una de las ecuaciones lineales son

y =  2x + 4

y = -x -1

En la figura 11.1 se muestran las gráficas de las dos rectas.

Ahora, si graficamos separadamente cada desigualdad lineal de (3.1) y encon­tramos la intersección de los dos semiplanos resultantes, se tendrá la solución del sistema. En esta forma se obtiene la figura 11.2

La solución está representada por la región cuadriculada. El hecho de que una de las rectas esté punteada indica que los puntos que pertenecen a la recta no forman parte de la solución. La recta que tiene dibujados todos sus puntos sí se incluye en la solución.

Se debe señalar que la región cuadriculada representa únicamente la intersec­ción de los conjuntos y

 Sin embargo, generalmente resulta más fácil expresar la solución gráficamente que intentar darla como un solo conjunto. En este caso no necesitamos escribir la solución como un solo conjunto.

Ejemplo 12.

Grafique el siguiente sistema de desigualdades lineales

3x + 4y -12 ≤  0

x – y + 2 > 0

x ≥ 0

                                        y ≥ 0

Lo primero que hacernos es despejar la variable adecuada en cada una de las desigualdades para obtener lo siguiente

                                     y < x + 2

                                     x ≥ 0

                                     y ≥ 0

y luego graficar las cuatro rectas

                                 y = x + 2

                                x = 0

                               y = 0

La figura 12.1 representa las gráficas de las rectas. Nótese que x = 0, y  y = 0 corresponden al eje y y al eje x respectivamente.

La gráfica del sistema del ejemplo 12 será la intersección de las cuatro regiones determinadas por cada una de las cuatro desigualdades. La región som­breada de la figura 12.2 representa la gráfica del sistema del ejemplo 12.