8. Desigualdades lineales simultáneas

Al resolver desigualdades lineales simultáneas, debemos tener presente que lo que estamos buscando es la intersección de los conjuntos solución de un sistema de dos o más desigualdades. Esto puede lograrse con la máxima facilidad graficando las desigualdades y observando la intersec­ción de sus gráficas. Si la intersección es vacía no hay soluciones simul­táneas.

Ejemplo 7. Resuélvase, graficando, el sistema de desigualdades lineales

                 2x - y + 4 < 0

                  x + y + 1 ≥ 0

Solución. Primero despejamos y en cada una de las desigualdades para obtener

                 y > 2x +4

                y ≥ -x – 1

Luego graficamos la recta y = 2x +4 para obtener el conjunto solución de la desigualdad 2x - y + 4 < 0 figura 7.1

Figura 7.1

    

Figura 7.2

 

Después graficamos la recta y = -x -1 para obtener la solución grafica de la desigualdad y ≥ -x – 1, ver figura 7.2.

Para encontrar la solución del sistema unimos las dos graficas en un mismo sistema de coordenadas. La solución se encuentra en la intersección de los dos conjuntos solución como se muestra en la figura 7.3.

 

Ejemplo 8. Resuélvase, graficando, el sistema de desigualdades lineales

2x + 2y < 4                    (8)

x- y < 0                      .

Solución. Primero despejamos y en las desigualdades, para obtener:

    y

Después graficamos la recta y = 2 –(1/2)x y debajo de esta recta dibujamos la solución de la desigualdad y < 2 – (1/2)x, que se muestra en la figura 8.1. Después graficamos en el mismo eje de coordenadas  la recta y = x y sobre esta recta dibujamos la solución de la desigualdad y > x. La intersección de las dos soluciones representa la solución del sistema de desigualdades, figura 8.2

Figura 8.1

    

Figura 8.2

Ejemplo 9. Una firma está planeando la producción para la se­mana siguiente. Está haciendo dos, productos, X y Y, cada uno de los cuales requiere cierto número de horas en fundición, maquinación y acabado de acuerdo a lo que se muestra en el cuadro 9.1. Durante la semana que se está planeando, el número de horas de que se va a dispo­ner en cada una de las áreas en cuestión es el siguiente

Fundición, 110

Maquinación, 150

Acabado, 60

Producto

Horas por unidad

Fundición

Maquinación

Acabado

X

6

3

4

Y

6

6

2

Tabla 9.1

 

Grafíquese el sistema de desigualdades lineales que muestra las cantida­des de X y Y que pueden ser producidas.

Solución. Como los productos X y Y requieren, cada uno, seis horas de trabajo de fundición por cada unidad producida, y como hay 110 horas disponibles para tal trabajo, la cantidad total del tiempo de trabajo de fundición que se utiliza debe satisfacer la relación

6x +6y ≤ 110

dónde x representa el número de unidades del producto X procesadas y y el número de unidades del producto Y. Análogamente, las relaciones pertenecientes a la capacidad de maquinación y acabado son, respec­tivamente,

3x + 6y ≤ 150

4x + 2y ≤ 60

Aparte de las tres limitaciones a la producción arriba indicadas, hay dos condiciones adiciónales que cualquier combinación de producciones debe satisfacer.

x≥0   y≥0.

Esto es, la producción no puede ser negativa. La parte sombreada de la figura 9.1 muestra todas las combinaciones de producción que satisfacen todas las restricciones. Obsérvese que en este problema la capacidad de maquinación no es, en realidad, ningún tipo de restricción; es decir, cualquier combinación de producción que satis­face las otras dos limitaciones satisfará también la capacidad de ma­quinación.

Figura 9.1