Ejemplo 4. Grafique la desigualdad lineal
2x – y + 4 < 0
La ecuación lineal correspondiente es la recta
2x – y + 4 = 0
Vea la gráfica de la recta en la figura 4.1
Si sé seleccionan dos puntos de cualquiera
de los lados de la recta que serán investigados, por ejemplo,
(0, 0) y (-5, 0), se tiene
(0, 0): 2(0)-0+4=4 > 0
(-5, 0): 2(-5)- 0 + 4 =-10 + 4 =-6 < 0
Así que (0, 0) no pertenece a la gráfica, pero (-5, 0) sí. Todos
los puntos del mismo lado en que está (-5, 0), pertenecen a la
gráfica.
Como ningún punto de la recta puede estar en la gráfica, se
tiene que la gráfica es la región sombreada de la figura 4.2 en
la que la recta está punteada para indicar que no es parte de
la gráfica |
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.Ejemplo 5
Grafique la desigualdad lineal
2x – y + 4 < 0
La ecuación lineal correspondiente es la recta
2x – y + 4 = 0
Vea la gráfica de la recta en la figura 5.1
Si sé seleccionan dos puntos de cualquiera de los lados de la
recta que serán investigados, por ejemplo, (0, 0) y (-5, 0),
se tiene
(0, 0): 2(0)-0+4=4 > 0
(-5, 0): 2(-5)- 0 + 4 =-10 + 4 =-6
< 0 |
Figura 5.1 |
Así que (0, 0) no pertenece a la gráfica, pero
(-5, 0) sí. Todos los puntos del mismo lado en que está (-5, 0),
pertenecen a la gráfica.
Como ningún punto de la recta puede estar en la gráfica (¿por
qué?), se tiene que la gráfica es la región sombreada de la figura
5.2 en la que la recta está punteada para indicar que no es parte
de la gráfica.
El conjunto de puntos que pertenecen a la gráfica de una
desigualdad lineal, generalmente se denomina un semiplano |
Figura 5.2 |
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Ejemplo 6. Una firma fabrica dos productos, X y Y. Cada
unidad del artículo X producida requiere dos horas de trabajo en una taladradora,
y cada unidad del artículo Y, cinco horas de trabajo en una taladradora.
La firma tiene un máximo de 40 horas de trabajo para la taladradora obtenible
en la semana. Si la sola limitación en la producción semanal es la posibilidad
de obtención de horas de taladradora, grafíquese la relación que muestra
las combinaciones de los dos productos que la firma es capaz de producir
semanalmente.
Solución. Sea x el número de unidades del artículo X producidas
semanalmente, y sea y el número de unidades del producto Y que semanalmente
se producen. Como cada unidad producida del artículo X requiere dos horas
de trabajo en una taladradora, el producto 2x representará el número
de horas de taladradora necesarias para producir x unidades y, análogamente,
5y será el número de horas de trabajo en taladradora requeridos para
producir y unidades. Como el número total de horas destinadas a la producción
de ambos productos no puede exceder a 40, podemos escribir
2x +5y ≤ 40
Graficamos 2x + 5y = 40 y la solución grafica
de la desigualdad
El conjunto solución para la desigualdad se define como sigue:
1. Si
sólo se pueden producir unidades enteras, entonces el conjunto solución
será el conjunto de todos los pares ordenados (x, y), donde x y y son
enteros no negativos y y < (40 - 2x) /5. La gráfica será, entonces,
un conjunto de puntos en o debajo de la recta definida por 2x + 5y = 40
cuyas coordenadas sean enteras, por ejemplo, (4,2), (8,2), etc.
2. Si podemos incluir partes de unidades,
entonces el conjunto solución contendrá todos los pares ordenados
(x, y) tales que x y y sean
números racionales y y
< (40 - 2x) /5. La gráfica
será, entonces, el conjunto
de puntos en o debajo de la recta cuyas coordenadas sean números
racionales, por ejemplo, (8,1.5), etc.
3. Si deseamos una curva lisa, entonces
el conjunto solución incluirá todos los pares ordenados (x, y) tales que
x y y son números reales y y < (40 - 2x) /5. La gráfica será el conjunto
de todos los puntos en y debajo de la recta 5y + 2x = 40. En ningún caso
podrán considerarse valores negativos de x o de y.