(1.1)Introducción al Cálculo Diferencial e Integral
Números Reales
Estudiaremos ahora desigualdades lineales de la forma
ax + by < c
donde a ¹ 0 ¹ b y a y b son números reales.
Usando las propiedades sobre desigualdades, podemos escribir
by < c - ax
o para b > 0
(1.1)
mientras que para b < 0
(1.2)
El conjunto solución de 1.1
es el conjunto de pares ordenados
(x,y) para los cuales y < c/b
- (a/b)x;
y para 1.2 es
el conjunto de pares ordenados (x, y) para
los que y > c/b
- (a/b)
x.
Para graficar una desigualdad lineal sobre el plano real, necesitamos indicar el conjunto de puntos en los que el conjunto solución se mapea, es decir, cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad. Recordamos que si a y b son dos números reales cualesquiera, a = b, a < b, o a > b. Sobre el plano real; por tanto, si tenemos los puntos (x, y) para los que y = x, los puntos (xi, yi) para los que yi < xi, estarán bajo la recta y = x y todos los puntos (xi, yi) para los cuales yi > xi estarán sobre la recta y = x. Usando esta idea, graficaremos una desigualdad lineal en dos variables graficando la igualdad lineal obtenida al cambiar el signo de desigualdad por un signo de igualdad. La gráfica de la desigualdad será el conjunto de puntos arriba o abajo de la recta definida por la igualdad. Así:
Para graficar desigualdades lineales, se deben seguir las siguientes reglas:
Despejar el valor de y en la desigualdad lineal dada,{ y> ecuación o y< ecuación}.
Considerar la igualdad y = ecuación y graficar la recta correspondiente.
Si y > ecuación, la solución grafica está sobre la recta; (b) si y< ecuación, la solución está abajo de la recta.
Ejemplo 1. Resuélvase la desigualdad lineal
2x + 4y < 8.
Solución. Como 4 es positivo, al despejar y obtenemos
4y < 8 - 2x
y <2-x/2
El conjunto solución de la desigualdad es, {(x,y) | y < 2 - x/2}, este conjunto contiene a (0,0), (0,1),(0,1/2), etc.; para x = 0, y < 2 ; para x = 2, y < 1, etc..
Para
graficar el conjunto solución primero graficamos la igualdad La gráfica de esta igualdad es una recta con pendiente -1/2, y que intersecta a los ejes coordenados en los puntos (0, 2) y (4, 0). Puesto que el conjunto solución está dado por la inecuación y < 2 - x/2, la grafica de la desigualdad es el conjunto de puntos debajo de la recta definida por la igualdad, este conjunto de puntos no incluye, el de los puntos sobre la recta ni los que están en la recta, ver figura 1.1 |
Figura 1.1 |
Ejemplo 2. Resuélvase la desigualdad lineal 2x - 4y < 8.
Solución. Despejamos y en la desigualdad. -4y < 8 - 2x
El conjunto solución es
La gráfica de la desigualdad será el conjunto de puntos arriba de la recta y = x/2 – 2, definida por la igualdad, sin incluir los puntos sobre la recta, ver figura 2.1 |
Figura 2.1 |
Otra forma de resolver las desigualdades lineales.
Ejemplo 3. Grafique el conjunto de puntos (x, y) que satisfacen
2x + 3y – 6 ≥ 0 (3.1)
Primero, se encuentra la gráfica de la recta
2x + 3y - 6=0 (3.2)
Ya que cualquier punto en la recta dada por (3.2) debe cumplir con (3.1), estos puntos están en el conjunto de puntos que cumplen (3.1). [Si el signo ≥ en (3.1) se substituyera por sólo >, los puntos en la recta no estarían en el conjunto de puntos que satisfacen (3.1)]. Vea la figura 3.1 Empezaremos por probar algunos puntos, tales como (-1 -1), (5, 5), (4, 0), (-4,0). Ahora Reemplazando (-1,-1) en (3.1) tenemos : 2(-1)+3(-1)-6=-2-3-6=-11 < 0 |
Figura 3.1 |
Por tanto, (-1, -1) no pertenece a la gráfica. En seguida reemplazando: (5, 5): 2(5) + 3(5) - 6 = 25 - 6 = 19 > 0 por lo que (5, 5) sí pertenece a la gráfica. También reemplazando (4, 0): 2(4)+3 (0)-6=8-6=2 > 0(-4, 0): 2(-4)+3 (0)-6=-8-6=-14 < 0 Entonces (4, 0) está en la gráfica, pero (-4, 0) no está. Además, nótese que los puntos (4, 0) y (5, 5) que pertenecen a la gráfica, están de un solo lado de la recta y que (-4, 0) y (-1, 1) que no están en la gráfica, están en el otro lado de la recta. Esto no es accidental. La gráfica de (3.1) está representada por la región sombreada de la figura 3.2 |
Figura 3.2 |
Para graficar desigualdades lineales, se pueden seguir también las siguientes reglas:
Graficar la igualdad lineal correspondiente, una recta.
Encontrar un punto que no pertenezca a la recta, pero que cumpla con la desigualdad lineal.
Todos los otros puntos que cumplen con la desigualdad lineal estarán en el mismo lado de la recta en que está el punto que se determinó en la regla anterior.
