Introducción al Cálculo Diferencial e Integral
Números Reales
Un número es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El término proviene del latín numĕrus y hace referencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos.
El concepto de números reales surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del año 1.000 a.C. El desarrollo de la noción continuó con los aportes de los griegos, que proclamaron la existencia de los números irracionales.
Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).
Los griegos creían que todo el universo se regía por los números naturales y sus relaciones (fracciones numéricas). Formaban una especie de secta místico-matemática, que tenía por símbolo la estrella de cinco puntas (pentágono estrellado).
Cuando descubrieron que la relación que existe entre el lado del pentágono estrellado y el lado del correspondiente pentágono convexo no se puede expresar como cociente de dos números enteros, sufrieron una gran conmoción en sus creencias místico-matemáticas.
Les pareció tan contrario a la lógica este resultado que al número correspondiente le denominaron irracional (contrario a la razón).
Actualmente los irracionales son tan “razonables” como los racionales, y ambos conjuntos numéricos conforman el conjunto de los números reales.
Los números surgieron de la necesidad de contar pertenencias, objetos, personas, etc. Cuando contamos objetos se inicia con 1, luego 2, 3, 4, etc. Existe una polémica acerca de considerar al cero como elemento de los número naturales; como se inventaron para contar objetos, que representaría el cero, precisamente eso, la ausencia de objetos dirían los especialistas en teoría de conjuntos (probabilidad y lógica), entonces algunos consideran al cero como elemento de los números naturales, y otros más conservadores como los especialistas en teoría de números que no lo reconocen como tal así es que no lo incluyen.
Los números naturales tienen dos grandes usos: se utilizan para especificar el tamaño de un conjunto finito y para describir qué posición ocupa un elemento dentro de una secuencia ordenada.
Una de las principales señas de identidad o características que definen
a los números naturales es el hecho de que los mismos están ordenados.
De esta manera, gracias a este orden se pueden comparar los números entre
sí. Así, por ejemplo, podríamos subrayar en ese sentido que el 8 es mayor
que el 3 o que el 1 es menor que el 6.
Los números naturales constituyen un conjunto cerrado para las operaciones
de suma y multiplicación ya que, al operar con cualquiera de sus elementos,
el resultado siempre será un número natural: 5+4=9, 8×4=32. No ocurre
lo mismo, en cambio, con la resta (5-12= -7) o con la división (4/3=1,33).
El conjunto de números que utilizaremos es el de mayor tendencia: el conjunto en el que se excluye el cero como elemento uno de sus elementos.
Los números naturales se representan con la letra N y su notación de conjunto es: