FUNCIONES

1. FUNCIONES Y SUS GRAFICAS.

Una
de las grandes inquietudes de los seres humanos a través de la historia ha sido
la de describir los fenómenos naturales, sus
cambios y las relaciones entre unos y otros. Desde hace tiempo, el hombre ha
estudiado ciertos fenómenos naturales y ha expresado este conocimiento a través
de fórmulas que interrelacionan las magnitudes que caracterizan a dichos
fenómenos; por ejemplo:

Ejemplo 1.1.        Para una cierta dosis
de x centímetros cúbicos de una droga la presión sanguínea resultante P está dada por:

B =
0.5x2 – 0.3x3

Ejemplo 1.2.        El interés sobre una
inversión de $4000.00 a razón de 40% anual está dado por:

I =
0.40 (4000) t

donde t es el número de años.

Ejemplo 1.3.        La ley de Boyle establece que para un gas ideal a temperatura
constante, si el volumen es de v unidades, la presión P es igual a:

P =
k/v

siendo k un número fijo.

Ejemplo 1.4.        Cuando se producen x
toneladas de una cierta mercadería, el producto recibe un beneficio de $ B pesos por mes, siendo:

B =
1500 + 15x2 – x3

Este tipo de relaciones motivaron el origen
del concepto de función.

En
cada uno de los ejemplos anteriores se encuentra una variable que depende de
otra; así vemos que:

en el ejemplo 1), la presión sanguínea P
depende de la dosis de x

en el ejemplo 2), el interés depende del
número de años t

en el ejemplo 3), la presión P del gas
depende de las unidades del volumen v

en el ejemplo 4), el beneficio B depende de
las x
toneladas producidas.

En otros términos:

La
presión sanguínea P está en función de x

El
interés I está en función de t

La presión P del gas está en función de v

El beneficio B está en función de x.

Por esta
razón es común llamar a x, t, v, x variables independientes y a P, I, P, B
variables dependientes respectivamente.

Consideremos
el ejemplo 1.2.

El interés sobre una inversión de $4000.00
a razón de 40% anual está dado por:

I =
0.40 (4000) t

donde t es el número de años.

Calculemos el interés para distintos
valores de t.

Para

t = ½ año

I = 0.40

(40 000) (1/2)

= 800

t = 1 año

I = 0.40

(40 000) (1)

= 1600

t = 1.5 año

I = 0.40

(40 000) (1.5)

= 2400

Siguiendo
el procedimiento anterior, obtenemos la siguiente tabla:

Años t

0

1/2

1

1.5

2

3

4

Interés 1

0

800

1600

2400

3200

4800

6400

en la
cual se observa que a cada valor de la variable independiente t le corresponde
un único valor de la variable dependiente I. Este tipo de correspondencia es el
que caracteriza a una función. Obsérvese además que tanto la variable
independiente t como la variable dependiente I toma sólo valores mayores que
cero, puesto que en este problema no tiene sentido hablar de tiempos e
intereses con valores negativos.

El conjunto de valores posibles que
puede tomar la variable independiente se llama dominio de la función y los valores correspondientes
de la variable dependiente forman el conjunto de imágenes de la función o
rango de la función.

Ahora daremos la definición de función:

Definición 1.1.

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es una
regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de X un único elemento y
de Y. El elemento y se llama la imagen de x
bajo f y se denota por f(x). El conjunto X se llama el dominio de la función y
el conjunto Y contradominio. El rango de la función consta de todas las
imágenes de los elementos de X

Ejemplo 1.5.

Objetivo: Ilustrar el concepto de función.

Ejemplo A. Representemos por y la distancia en metros que una piedra recorre
al caer desde un edificio en x minutos.

x (tiempo)

0

1

2

3

y (distancia)

0

2

4

6

Ejemplo B. Sea C = {(1,2), (1,-2), (3,6)}

Ejemplo C. Sea D = {(1,3), (2,3), (-1,3), (-2,3)}

Verificar si en cada ejemplo se cumple la
definición de función

Solución: (A) Puesto que a cada x (tiempo) le
corresponde un único valor y (distancia), la correspondencia del ejemplo A es
una función. Esta correspondencia puede expresarse usando parejas ordenas de
la siguiente manera: (0,0), (1,2), (2,4), (3,6) donde cada primer elemento de
la pareja representa el tiempo y cada segundo elemento una distancia, y puede
representarse gráficamente utilizando

(B) El conjunto C no representa una función. Nótese que el conjunto C
contiene las parejas ordenadas (1,2) y (1,-2); esto significa que al número 1
se le asocian dos números distintos 2 y –2. Por lo cual C no cumple con la
definición de función.

La
representación gráfica del conjunto C usando diagramas es la siguiente

(C) El conjunto D representa una función. La representación gráfica
del conjunto

D
= {(1,3), (2,3), (-1,3), (-2,3)} es:

1.1.
Representación de una Función

Una
función puede representarse de cuatro formas.

i)
Por medio de una tabla

Ejemplo:

x (número de unidades)

y (costo de operación)

0

$ 50

1

$ 70

2

$ 90

3

$110

4

$130

Esta tabla es equivalente a:

(0,
50), (1, 70), (2, 90), (3, 110), (4, 130)

ii)
Por medio de una regla.

Ejemplo. Para obtener los costos de operación en el ejemplo anterior
multiplique el número de unidades por $ 20 y sume al resultado $ 50.

iii) Por medio de una ecuación.

Ejemplo. Los costos de operación del ejemplo anterior están dados por la
ecuación y = 20x + 50, donde el número de unidades es x = 0, 1, 2, 3, 4, y los
costos de operación están representados por la variable y.

iv)
Por medio de una grafica

Cuidado. No todas las tablas, reglas, gráficas y ecuaciones representan una
función.

Un ejemplo de una gráfica que no representa
una función es la siguiente:

Esta gráfica no representa una función,
puesto que a el valor de x1 se le asocian dos valores distintos de
y: y1, y, y2.

En general, si al trazar una recta paralela
al eje y sobre una curva, la recta corta a la curva en más de un punto,
entonces la curva no representa una función.

1.2.
La Notación Funcional.

Con frecuencia es necesario representar
las funciones por medio de símbolo de tal modo que cuado ésta es nombrada
sabemos a que función nos referimos. El símbolo más usual para representar
una función es la letra f, y el símbolo f(x) se usa para representar el
elemento asociado a x que se lee “f de x”; algunas veces se dice que f(x) es
el valor de f en x. Gráficamente,

No deben confundirse los símbolos f y f(x);
f representa la función no está ni en el dominio x ni en el rango y. Sin
embargo f(x) es un elemento de y.

Ejemplo 1.6.        Objetivo. Mostrar el
uso de la notación funcional:

Sea f la función definida por f(x) = 3x –
1. ¿Qué significa f (1)?

Solución.

f(1)
significa usar la función f para encontrar la imagen de x =1 bajo la función f.

en

f(x)

=

3x

-1

reemplazar
x por 1

f(1)

=

3(1)

-1

f(1)

=

3

-1

f(1)

=

2

También “f(1) = 2”
es una manera breve y precisa de decir “el valor de la función cuando x = 1 es 2”.

Nótese en lo anterior que el símbolo “f(x)”
únicamente reemplaza al símbolo “y” en la ecuación y = 3x – 1.

Ejemplo 1.7.

Objetivo. Utilizar la notación f para
determinar ciertos valores funcionales:

Dada la función f definida por f(x) = x2
+ 1. Encontrar f (0), f(-2), f

, f(x1 + Dx). Dx es una variable que representa un cambio en la variable x.

Solución

f(x)

=

x2

+

1

f(0)

=

(0)2

+

1=1

f(-2)

=

+

1 = 5

=

+

1 = 3

f(x1
+ Dx) = (x1 + Dx)2 1 =

+ Dx + Dx2
+ 1

Las funciones de mayor interés para
nosotros son aquéllas cuyo dominio es un conjunto de números. En este texto, se
utilizarán funciones reales de variable real, es decir el dominio de la función
será el conjunto de los números reales 3 o un
subconjunto de él, y el contradominio de f serán 3 o un
subconjunto de él.

Si el dominio no se especifica, tomamos
como dominio el conjunto más grande de números reales para el que la función
esté definida.

Ejemplo 1.8

Objetivo: mostrar el método para determinar
el dominio de una función cuando x es la variable independiente.

Hallar
el dominio de cada función

(A)

,

(B)

,

(C)

Solución.

(A)    Como no se puede dividir por cero, ningún
denominador puede igualarse a cero. Por lo tanto, el dominio de f es el
conjunto de todos los números reales excluido el número 2.

Df = {x| x Î R, x ¹ 2} o bien
Df = 3 - {2}

(B)     El dominador se factoriza: x2 – x – 6 =
(x-3) (x + 2). Este denominador es cero si x = 3 0 –2; por lo tanto, el dominio
es el conjunto de todos los reales, excluidos el 3 y el –2. Es decir Dg
= {x|xÎ 3, x
¹
-2, 3}

(C)    La raíz cuadrada de un
número negativo, no es un número real. Dado que 16 – x es negativo para todo x > 16, el dominio de

es x £ 16 o bien (-¥, 16].

Definición 1.2

La gráfica de una función f es el conjunto de todas las
parejas (x, f(x)) en un plano coordenado tales que x es un elemento en el
dominio de f.

Las gráficas son muy útiles para describir
el comportamiento de f(x) cuando x varía. También se puede describir la gráfica
de f como el conjunto de puntos P(x, y) tales que y = f(x). Por lo tanto la
gráfica de f coincide con la gráfica de la ecuación y = f(x) y si P(x, y) está
sobre la gráfica de f, entonces la ordenada y es el valor de f en x. Es
importante notar que, como a cada valor de x en el dominio de la función le
corresponde un único valor de y, ninguna recta vertical puede interceptar la
gráfica de la función en más de un punto.

Los siguientes ejemplos tienen como
objetivo el mostrar la gráfica de algunas funciones elementales.

Ejemplo 1.9. Dibuje la gráfica de f suponiendo que f(x) = x.

Solución.

En la tabla
siguiente aparecen las coordenadas (x, f(x)) de algunos puntos sobre la
gráfica.

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

Al trazar estos
puntos, encontramos que la gráfica tiene la forma mostrada en la figura.

Ejemplo 1.10

Dada la función
f con dominio

tal que f(x) = x2
+ 1 para toda x en

. Dibuje la gráfica de f.

Solución.

La gráfica
de f consta de todos los puntos de la forma (x, x2 + 1). En la
tabla siguiente aparecen las coordenadas (x, f(x)) de algunos puntos

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

10

5

2

1

2

5

10

Trazando estos
puntos llegamos a la figura mostrada

f(x) = x2 + 1

Ejemplo 1.11

Dibuje la gráfica de f suponiendo que

Solución.

Los valores
de x tales que x + 1 < 0 no pertenecen al dominio de f ya que en esta caso
f(x) no es un número real. En consecuencia no hay puntos de la forma (x, y)
con x <-1 en la gráfica de f. En la tabla siguiente se muestran algunos
puntos (x, f(x)) sobre la gráfica:

x

-1

0

3

8

f(x)

0

1

2

3

Al trazar estos
puntos se obtiene la figura mostrada.

Ejemplo 1.12

Dibuje la
gráfica de

Solución

Como no se puede dividir por cero, entonces el dominio de f es el
conjunto de todos los números reales diferentes de 0. Si x > 0 entonces
f(x) > 0 por tanto una parte de la gráfica se encuentra en el primer
cuadrante. Si x < 0 entonces f(x) es negativo por lo tanto otra parte de
la gráfica se encuentra en el III cuadrante. Si x toma valores muy cerca de
cero, entonces f(x) = 1/x toma valores muy grandes en valor absoluto si x
toma valores muy grandes en valor absoluto entonces f(x) = 1/x adquiere
valores cercanos a cero.

Utilizando las observaciones anteriores y
trazando los puntos (x, f(x)) de la siguiente tabla obtenemos la figura
mostrada.

x

-6

-3

-1

-1/6

1

3.

6

f(x)

-.16

-.3

-1

-6

1

.3

.16

Ejemplo 1.1.3

Dibuje la gráfica de f(x) = x3

Solución:

La gráfica de f es el conjunto de todos los puntos de la forma (x,
x3). Trazando los puntos de la tabla obtenemos la gráfica mostrada

x

-2

-1

0

1

2

f(x)

-8

-1

0

1

8

f(x)
= x3

Ejemplo 1.14

Dibuje la gráfica de f(x) = 3.

Solución.

Si f(x) = 3 entonces la gráfica de f es el conjunto de parejas (x,
3) y representan una línea horizontal.

El dominio de f es todo

y el rango {3}. La
tabla siguiente muestra algunos puntos sobre la gráfica de f.

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

3

3

3

3

3

3

3

f(x) = 3

Ejemplo 1.15

Dibuje la
gráfica de f(x) = |x|.

Solución.

Si x ³ 0 entonces
f(x) = x por lo tanto la parte de la gráfica a la derecha del eje coincide
con la gráfica de y = x. Si x < 0 entonces f(x) = -x y por lo tanto la
parte de la gráfica a la izquierda del eje coincide con la gráfica de y = -x.
la gráfica es la figura mostrada.

Ejemplo 1.16

Dibuje la
gráfica de la función definida de la siguiente manera

Solución.

Si x £ -2 entonces
f(x) = x + 2. Esto significa que para x £ -2 la gráfica de f
coincide con la gráfica de la recta y =
x + 2. Si –2 < x £ 2 entonces f(x) = x2, por tanto esta parte de la
gráfica coincide con la gráfica de la parábola x = y2. Si x > 2
entonces la gráfica de f es una semirrecta horizontal separada por una
distancia de 2 unidades del eje x. La gráfica es la figura mostrada.

Se
dice que dos funciones f y g de X a Y son iguales y se escribe f = g, siempre y
cuando f(x) = g(x) para toda x en Y.

Por
ejemplo sean:

Puesto
que

representa solamente
la raíz cuadrada no negativa, entonces f = g pero f1 ¹ g1
Haciendo

f2 (x) = |x|, x real

se
deduce que f2 = g1

En
la tabla del ejemplo 1.3 se ve que la función envía dos elementos distintos del
dominio a un
mismo elemento del contradominio, f (-1) = 2, f
(1) = 2. Es decir, dos elementos distintos del dominio tienen la misma imagen.
Si las imágenes fueran siempre diferentes, entonces a la función se le llama
uno a uno.

Definición 1.3

Una función de X en Y es una función uno a uno si siempre que x1 ¹ x2 en X entonces f(x1) ¹
f(x2) en Y.

Si
f es uno a uno entonces cada f(x) en el rango es la imagen de exactamente un x
en X. Si todo elemento del contradominio Y es imagen de algún elemento del
dominio X
y f es uno, a uno, se dice que hay una correspondencia uno a uno entre X y Y.
Un ejemplo de la correspondencia uno a uno. Un ejemplo de la correspondencia uno
a uno es la asociación de los números reales con los puntos de una recta
coordenada.

Ejemplo 1.17.

Sea

con x real. Demuestre
que f es uno a uno.

Solución:

Si x1 ¹ x2 en

, debemos probar que f(x1) ¹ f(x2).
Es decir, probar que

. Puesto que x1 ¹ x2, se
tiene que x1 + 1 ¹
x2 + 1. De ahí

. Por lo tanto f(x1) ¹ f(x2).

Ejemplo 1.18.

Sea g(x) = x2 + 1, con x real. Demuestre que g no es uno
a uno.

Solución:

La función f no es uno a uno ya que existen números diferentes en el
dominio que tienen la misma imagen. Por ejemplo, aunque –2 ¹ 2, se tiene que
g (-2) = 5 = g (2).

Si observamos las gráficas de las funciones de los ejemplos
anteriores vemos que en el ejemplo vemos que en el ejemplo (1.6) donde la
función es
uno a uno, cualquier recta horizontal corta a la gráfica de la función en un
solo punto. En cambio en la gráfica de la función g(x) = x2 + 1,
cualquier recta horizontal, arriba del eje de las c, corta a la gráfica en dos
puntos.

l corta en solo un
punto

l

l corta en dos
puntos

l

g(x) = x2 +1

Definición 1.4

Una función f con dominio A se llama: I) par, si f (-a) = f(a) para todo número
en X, ii) impar, si f (-a) = -f(a)
para toda a en X.

Ejemplo 1.19.

Determine
si          i) h(x) = x3, ii) g(x) = |x| y         iii) k(x) =
2x + 1 son funciones pares, impares o ninguna de las dos.

Solución.

i)     Sea a Î

, h (-a) = (-a)3 = a3. Puesto
que h (-a) = - h(a) entonces h es impar. Obsérvese que la gráfica de h es
simétrica respecto al origen.

ii)    Sea a Î

, g (-a) = |-a| = g(a). Por lo tanto g es par.
Nótese que la gráfica de g es simétrica con respecto al eje y.

iii)    Sea a Î

, k (-a) + 1 = -2ª + 1. Puesto que k (-a) ¹ k(a) y –k(a), f
no es par ni impar. A continuación se muestran las gráficas de las funciones h,
g y k.

h(x) = x3

Función impar

g(x) = |x|

Función par

k(x) = 2x +1

No es par ni impar