Problema1

EXPANSIONES DECIMALES DE NUMEROS RACIONALES

Sabemos que al dividir dos enteros cualesquiera, obtenemos como cociente una expansión decimal finita (= 2.5, = 22.46, = 2 ) ó bien una expansión decimal infinita periódica (= 0.3333... , = 0.714285714285... )

En este último caso al emplear el algoritmo de la división de 5 entre 7, tenemos como posibles residuos a 0, 1, 2, 3 , 4, 5 y 6. Si apareciera el residuo 0 la expansión sería finita, pero como no es así, el algoritmo nos proporciona una expansión decimal infinita y periódica, ya que al haber un número finito de residuos, una vez que se repita el primero, se repetirá todo el bloque anterior de residuos como se observa en el siguiente ejemplo.

Como podrá observarse, el conjunto de residuos que se repite indefinidamente es

{5, 1, 3, 2, 6, 4} obteniéndose que = 0.71428577142857...

El procedimiento para convertir una expansión decimal finita o infinita periódica en un cociente de dos enteros, lo ejemplificamos en los siguientes problemas:

Problema 1. Convertir a = 0.323232323... en un cociente de dos enteros.

El procedimiento consiste en que partiendo de a, recorriendo el punto decimal, podamos conseguir dos números con la misma expansión decimal. En este caso a y 100ª, los cuales al restarse darán un entero.

(I) a = 0.323232... (Multiplicamos en ambos lados por 100)

(II) 100 a = 32.323232... (Restamos II de I)

_______________________

99 a = 32 , lo cual implica que a =

Así pues 0.323232.... =

Problema 2. Convertir a = 2.34578578578... en un cociente de dos enteros.

Al igual que en el problema anterior, los dos números con la misma expansión decimal, son:

a = 2.34578578...

100 a = 234.578578...
100,000 a = 234578.578578...

_________________________

99,900 a = 234,578 lo cual implica que a =

Así pues 2.34578578... =

Regresar a la lista de ejercicios

Regresar a la página principal

EXPANSIONES DECIMALES DE NUMEROS IRRACIONALES

Todo número irracional a se puede expresar con cualquier grado de precisión por medio de números racionales.

En efecto, siendo el número a > 0, calculemos a con un error no mayor de ( por ejemplo de 0.1, 0.01, 0.001, etc. ) .

Cualquiera que sea el número a, está comprendido entre dos números enteros consecutivos N y N+1. Dividamos el segmento comprendido entre estos dos números en n partes, entonces el número a resultará comprendido entre los números N + y N + . Dado que la diferencia entre estos números es , cada uno de ellos expresa a con un grado de precisión predeterminado: el primero por defecto y el segundo por exceso.

Veamos el anterior procedimiento en un caso concreto:

Problema 3. Encontrar las tres primeras cifras decimales correctas de .

Paso 1). Primeramente localizamos a entre los enteros 1 y 2 , es decir:

1 < <2 pues , y por lo tanto 1 con un error menor que 1

Paso 2). Dividamos el intervalo en 10 partes iguales y localizamos a entre las marcas 1.8 y 1.9, es decir: 1.8 < < 1.9 pues , por lo tanto con un error menor que . Obsérvese que 8 es la primera cifra decimal correcta.

Paso 3). Dividamos el intervalo en 10 partes iguales y localizamos a entre las marcas 1.81 y 1.82, es decir: 1.81 < < 1.82 pues , por lo tanto con un error menor que . Obsérvese que 8 y 1 son las primera dos cifras decimales correctas de .

Paso 4). Dividamos el intervalo en 10 partes iguales y localizamos a entre las marcas 1.817 y 1.818, es decir: 1.817 < < 1.818 pues , por lo tanto 7 con un error menor que . Obsérvese que 8, 1 y 7 son las primera tres cifras decimales correctas de , es decir:

= 1.817...

Regresar a la lista de ejercicios

Regresar a la página principal

OPERACIONES ENTRE NUMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

Para estos ejercicios se sugiere la demostración por contradicción, como se ilustra en el siguiente ejemplo:

Problema 4. Demuestre que la suma de un racional y un irracional es un número irracional.

Sean a un número racional cualquiera y b un número irracional también arbitrario.

Supongamos que la suma a + b es un número racional a', es decir

a + b = a'

Si despejamos b obtenemos b = a' - a, y como la diferencia entre dos racionales es racional, se contradice el hecho de que b es un número irracional, por lo que la suposición inicial, de que a + b es un número racional es falsa y en consecuencia a + b es un número irracional.

Regresar a la lista de ejercicios

Regresar a la página principal

DESIGUALDADES

Problema 5. Resuelva la desigualdad

Solución 1. (Geométrica) Considerando que = distancia entre los números a y b, para resolver nuestra desigualdad tenemos que encontrar todos los números reales x tales que la distancia entre 3x y 1 no excede de 4.