7. La derivada de funciones cúbicas

7.1 La derivada de f(x) = x3

En la siguiente escena se muestra  el Trazador de Derivadas y la construcción que éste hace para la derivada de la función  f(x) = x3 . Los controles x y h son  modificables en pantalla y toman como valores iniciales x = 0.5  y  h = 0.9.  En la parte superior  se muestran las coordenadas del punto P, cuya ordenada representa la pendiente de la recta secante. 

También se muestra en la escena, la traslación paralela del segmento rojo, el cual representa la pendiente de la recta secante, que, cuando h es "muy pequeña", puede considerarse como la recta tangente.

En la siguiente actividad se podrá interactuar con el Applet para obtener la derivada de la función f (x) = x3,  en cualquier

  1. Modifique el valor del parámetro h, aproximándolo a cero  y diga qué sucede con la recta secante.

  2. ¿Cuál es el valor de la pendiente de esta recta?

  3. Escriba el valor de la derivada de  f  en x = 0.5; es decir,  
              f     '(0.5) = ____

  4. Escriba el valor de la derivada de f en x = 1; es decir, 
              f     '(1) = ____

  5. Escriba el valor de la derivada de f en x = 0; es decir, 
              f     '(0) = ____

  6. Escriba el valor de la derivada de f en x = -1; es decir, 
              f     '(-1) = ____

  7. Explore libremente variando el valor de x y observe cómo cambia el valor de la pendiente.

  8. ¿Qué lugar geométrico describe el punto P al moverse x? ¿Podría dar su ecuación?

  9. Escriba en general la fórmula que nos da la derivada en cada punto, es decir,  f '(x) = ____

  10. Oprima aquí para ver una animación del trazo de la  función  derivada, en este caso particular.

La derivada de f(x) = x3 - 3x2 + 5x + 1