Uso de Software Dinámico en la Enseñanza del Cálculo
CABRÍ
Indice
Construyendo las gráficas de las funciones seno y tangente
Graficando la inversa de la función y = tan(x)
Graficando con parámetros en Cabrí
Construyendo un trazador para graficar la derivada de f
Una función que coincide con su derivada
Construyendo
las gráficas de las funciones Seno y Tangente.
Con el uso de Cabrí, trazaremos
la gráfica de la función y
= sen(x), partiendo del círculo unitario.
En la figura, por definición, el seno del arco x está representado por el segmento rojo, que si lo trasladamos al sistema cartesiano y hacemos variar x sobre la recta real, (el punto azul de la izquierda, se moverá sobre el círculo unitario) el punto azul de la derecha, describirá la gráfica de la función y = sen(x).
Análogamente, podemos utilizar Cabrí para construir un graficador de la función y = tan(x).
Graficando
la inversa de la función f(x)
= tan(x).
Obsérvese que si f(a) = b, entonces f -1(b) = a, es decir si el
punto (a, b) se
encuentra en la gráfica de f, entonces el punto (b, a) está en la
gráfica de f –1.
Es fácil comprobar que los puntos (a, b)
y (b, a) son simétricos con respecto a la recta
y = x, pues el
segmento que los une tiene pendiente –1 y su punto medio se encuentra sobre la
recta.
De nuevo le pedimos a Cabrí que nos grafique la función inversa de y = tan(x), manteniendo el punto rojo simétrico al punto azul, obteniendo en este trazo, la gráfica de la función arctan(x).
Graficando con parámetros en Cabrí
El software dinámico Cabrí, nos permite graficar por medio de parámetros, de tal manera que si variamos éstos, podremos apreciar las correspondientes variaciones en la gráfica. En la siguiente animación tenemos la gráfica de una función cuadrática de la forma
y = a(x - b)2 + c
donde a, b y c son parámetros reales.
El parámetro a, cierra o abre la parábola y = x2
El parámetro b, traslada horizontalmente la parábola y = x2
El parámetro c, sube o baja la parábola y = x2
Ejercicio: Encuentre la ecuación correspondiente a la parábola de la figura:
Haga click sobre la gráfica para checar su resultado en Cabrí
Ejercicio: Encuentre la ecuación correspondiente a la parábola de la figura:
Haga click sobre la gráfica para checar su resultado en Cabrí
En la siguiente ilustración tenemos la gráfica de una función cúbica.
Construyendo un trazador para graficar
la
función derivada de y = f(x) .
En esta actividad, construiremos la gráfica de la función derivada de una función dada y en casos particulares encontraremos la regla de correspondencia de esta función derivada.
De acuerdo como se indica en la figura, el trazador de la función derivada de la función cuya gráfica se muestra en color azul, se construira en Cabrí de la siguiente manera:
El segmento QB' = 1.
El cociente AB/QB representa la pendiente de la secante AQ
El segmento A'B' representa la pendiente de la secante, por semejanza de triángulos.
Sobre el punto x, levantamos un segmento perpendicular al eje x de la misma medida que A'B'.
En consecuencia el punto P trazará la función pendiente de secantes, la cual será aproximadamente igual a la función pendiente de tangentes, si h es "muy pequeño".
En la siguiente figura hacemos h = 000001, de tal manera que el segmento A'B' es "muy parecido" a la pendiente de la recta tangente, m = f '(x) y por lo tanto la gráfica en rojo será la gráfica de la función f '(x).
Veamos el siguiente archivo que nos grafica la derivada de la función cúbica.
y = ax3 + bx2 + cx + d
Ejercicio: Encuentre la función derivada (expresión algebraica) de:
f(x) = x3 - 3x2 + 8x + 1
utilizando el siguiente archivo de cabrí.
De
manera análoga podemos construimos un trazador de la derivada de
y = senx
Partamos de las gráfica de f(x) = ax y su
derivada. Sabemos que la derivada de esta función es “parecida” a su
derivada..
En esta actividad, a es el parámetro que
representa la base de la función exponencial, x es el punto donde queremos la derivada y
h representa el incremento en el cálculo de
las pendientes de las secantes.
Primeramente, hacemos tender h a cero para que el punto d el extremo superior del segmento rojo, trace la gráfica de la derivada, obteniendo algo como lo que se ve en la siguiente figura:
La gráfica de color rojo corresponde a la derivada de la función f(x) = ax , de tal manera que podemos tratar de determinar el parámetro a (la base de la exponencial) para el cual ambas gráficas coinciden.