P2  Reconocimiento visual de algunas funciones cuadráticas

Una vez que el estudiantes se ha familiarizado con la relación entre la variación de los parámetros y los correspondientes cambios en las gráficas de las parábolas, puede mostrarse el camino inverso: a partir de la representación gráfica, encontrar los parámetros y, por lo tanto, su ecuación de la forma f(x) = p(x-h)2 + k

En la siguiente actividad, mediante un ejemplo, se describe cómo encontrar la ecuación de una parábola conociendo su vértice y otro punto por donde pasa.

Ejemplo 1: Determinar la ecuación de la parábola que se muestra en la siguiente gráfica.

Solución: 
Considerando que en la actividad anterior concluimos que el vértice de  la parábola  y = p(x-h)2 + k   es  V = (h, k) y, como se aprecia en la gráfica, esta ubicación corresponde  al punto (2,1), tenemos ya determinados los valores:
                               h = 2,   k = 1.
Para encontrar el valor de p, debemos antes determinar otro punto por el cual pase la curva. En la gráfica puede verse que la parábola pasa por el punto (x, y) = (1,3). Sustituyendo en la ecuación los valores
x = 1,   y = 3,   h = 2,   k = 1  se obtiene:
                          y = p(x-h)2 + k
                         3 = p(1-2)2 + 1
                         3 = p +1
                         p = 2
En consecuencia la ecuación de la parábola es:
                       y = 2(x - 2)2 + 1
Haga click sobre el dibujo para verificar lo obtenido.

Observación: ¿Qué hubiera sucedido si en lugar de seleccionar (1, 3) como punto de la parábola, hubiéramos escogido (3,3)?

Siguiente ejemplo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo 2: Determinar la ecuación de la parábola que se muestra en la siguiente gráfica.

Solución: 
Como se aprecia en la gráfica, el vértice se encuentra en el punto (-1,5), y tenemos ya determinados los valores:
                               h = -1,   k = 5.
Para encontrar el valor de p, debemos antes determinar otro punto por el cual pase la curva. En la gráfica puede verse que la parábola pasa por el punto (x, y) = (1,4). Sustituyendo en la ecuación los valores
x = 1,   y = 4,   h = -1,   k = 5  se obtiene:
                          y = p(x-h)2 + k
                         4 = p(1-(-1))2 + 5
                         4 = 4p +5
                         a = -1/4
En consecuencia la ecuación de la parábola es:
                       y = -1/4(x +1)2 + 5
Haga click sobre el dibujo para verificar lo obtenido.

Observación: ¿Qué hubiera sucedido si en lugar de seleccionar (1, 3) como punto de la parábola, hubiéramos escogido (-5,1)?

Ejercicios