I. Sistemas
Numéricos
1.1
Introducción.
El sistema numérico que poseemos no es simple y no nació de improviso, por el contrario, es el resultado de profundas reflexiones en el tiempo por parte del hombre.
En un primer momento se necesitaron números para poder contar y tener claras las cantidades en el comercio y el almacenaje. Así nacen los números naturales o enteros positivos.
Los antiguos desarrollaron una serie de operaciones comerciales que dieron inicio a las operaciones de adición, sustracción y multiplicación, teniéndose así una aritmética basada en el empleo de números naturales. Así, como resultado de la diferencia, se encontró un nuevo tipo de números: los números negativos. Estos llevaron a la conformación de los números enteros.
Si bien en el periodo antiguo no se desarrolló totalmente la división, sí se advirtió, como resultado de operar los enteros, el uso de algunas fracciones elementales. Es así que surge el cociente entre dos números enteros, conociéndose a este conjunto como números racionales.
La aritmética y el álgebra crecieron como herramientas prácticas de cómo operar y cómo dar respuestas a problemas diarios. En contrapartida la geometría fue empleada como un instrumento de desarrollo intelectual y es por tanto un modelo de sistema lógico.
Es a partir de la geometría que surgen números que tuvieron aceptación mucho tiempo después y luego de un firme fundamento lógico, estos son los números irracionales.
La agrupación de todos estos números se conoce como conjunto de números reales y es sobre ellos que basaremos nuestro estudio.
1.2
Numeración
Sistema de símbolos o signos utilizados para expresar los números.
Las primeras formas de notación numérica
consistían simplemente en líneas rectas,
verticales u horizontales; cada una de ellas representa el numero 1. Por lo que
este sistema era extremadamente engorroso para manejar grandes números y para
hacer operaciones. Ya en el año
En la notación cuneiforme de babilonia el símbolo utilizado para el 1, era el mismo para el 60 y sus potencias.; el valor del símbolo venía dado por su contexto.
En la antigua Grecia coexistieron dos sistemas de numeración paralelos. El primero de ellos estaba basado en las iniciales de los números, el número 5 se indicaba con la letra G (PI); el 10 con la letra r (delta) el 100 con la letra H (eta); el 1000 con la letra C(chi) y el 10000 con la letra M (mu). En el segundo sistema eran usadas todas las letras del alfabeto griego más otras tres tomadas del alfabeto fenicio como guarismos. La ventaja de este sistema era que con poca cantidad de números se podían expresar grandes cifras; pero había que saberse de memoria un total de 27 símbolos.
Numeración
Romana
Este sistema (tan bien conocido por nosotros)
tuvo el mérito de ser capaz de expresar los números del 1 al 1.000.000 con solo
siete símbolos: I para el 1, V para el 5, X para el
En la actualidad los números romanos se usan para la historia y con fines decorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos escritos con rapidez.
Numeración
Arábiga
El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy y en casi todo el mundo es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes y luego por los árabes que introdujeron la innovación de la notación posicional; en la que los números cambian su valor según su posición. La notación posicional solo es posible si existe un número para el cero. El guarismo 0 permite distinguir entre 11, 101 y 1001 sin tener que agregar símbolos adicionales. Además todos los números se pueden expresar con sólo diez guarismos, del 1 al 9 más el 0. La notación posicional ha facilitado muchísimo todos los tipos de cálculos numéricos por escrito.
1.3
Sistemas Numéricos
En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema.
A lo largo de la historia se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes.
Valores
posicionales
La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9- depende de la posición del número completo.
Para convertir un número n dado en base
Sistema binario
El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de los ordenadores. Los números se pueden representar en el sistema binario como la suma de varias potencias de dos.
Ya que sólo se necesitan dos dígitos; el sistema binario se utiliza en ordenadores y computadoras.
Números
Palabra o símbolo utilizado para designar cantidades o entidades, que se comporten como cantidades. Es la expresión de la relación existente entre una cantidad y otra magnitud que sirve de unidad. Se pueden considerar números todos aquellos conceptos matemáticos para los cuales se definen dos operaciones, de adición y multiplicación, cada una de las cuales obedece a las propiedades conmutativa y asociativa.
1.4
Conjuntos Numéricos
Números Naturales.
Dicho en términos muy simples, los números naturales son los que sirven para contar.
El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades:
Si se suma a un natural el número 1 el resultado es otro número natural.
Por lo tanto el conjunto de los naturales es un conjunto infinito.
Las propiedades enunciadas anteriormente constituyen el Axioma de Inducción Completa.
El conjunto de los Números Naturales se denota por la letra N y se representa así:
N = {1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8,…}
Números Enteros.
El conjunto de números enteros, es también infinito.
Son parejas de números naturales (x, y), cuya resta x-y define un número entero.
Por ejemplo: la pareja (7, 3) define el entero positivo 4 ya que 7 - 3 = 4.
la pareja (2, 4) define el entero negativo -2 ya que 2 - 4 = -2.
Existe un isomorfismo entre parte del conjunto de los números enteros y el de los números naturales; ya que el conjunto de los naturales es el de los enteros positivos.
Al conjunto de los enteros también pertenece el 0 que está definido por todas aquellas parejas de naturales iguales (1,1) ; (56,56) ; etc.
El conjunto de los Números Enteros se denota por la letra Z y se le representa así:
Z = {…, -8, -7, -6,
-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…}
Observa que los números naturales son un
subconjunto de los números enteros. Es decir 
Números Racionales
El conjunto de números racionales está integrado por parejas de números enteros cuyos elementos se dividen entre sí.
A este conjunto también pertenece el 0, que está definido por todas aquellas fracciones que tienen al 0 por numerador.
Los racionales serán positivos o negativos según sea el signo de cada uno de los integrantes de las parejas que los definen.
Así será que parejas de enteros de igual signo definirán un racional positivo; y parejas de enteros de distinto signo definirán un racional negativo.
No existen racionales cuyo denominador sea 0.
El conjunto de los Números Racionales se representa por la letra Q y se representa así:
|
Q = Observa que se tiene la siguiente relación entre
los naturales, los enteros y los racionales. |
|
.
Números
Irracionales
Los números irracionales son aquellos elementos de la recta real que no son expresables mediante números racionales usando las operaciones internas de este conjunto. Es decir, un número irracional no puede expresarse de la forma p/q siendo p y q enteros, es decir no es racional. Antes de conocer los irracionales hablemos de las fracciones decimales.
Al dividir dos enteros entre si el resultado es un entero o un entero y una fracción decimal o bien únicamente una fracción decimal.
Fracción Decimal. Se llaman así a todos los números que representen una cantidad inexacta, y que presentan una parte entera y una parte decimal, mismas que se encuentran separadas por el punto decimal (.). Por ejemplo:
0.55 Este número es una fracción decimal o simplemente un decimal pues encontramos el punto decimal.
Existen dos clases de decimales: los finitos y los infinitos.
a) Decimales
Finitos:
Cuando la parte
decimal tiene un final determinado y no va mas allá, decimos que se trata de un
decimal finito.
El ejemplo anterior
nos decía que teníamos 0.55. Aquí vemos que la parte decimal termina con el
número 55 y no sigue por lo tanto se trata de un decimal finito.
b) Decimales
Infinitos:
Son aquellos en
los que la parte decimal no tiene un final determinado. Dentro de ellos tenemos
dos que son muy importantes y son:
b1) Decimales Periódicos Puros:
Número decimal periódico puro es el número decimal en el cual
la cifra o grupo de cifras que se repiten empieza inmediatamente después del
punto. En ellos se repite siempre el mismo número o periodo. Por ejemplo:
0.16161616…. En la parte decimal se repite infinitas veces
el 16. Este número decimal periódico se escribe también así 
b2) Decimales Periódicos Mixtos:
Número decimal
periódico mixto es el número decimal en el cual la cifra o grupo de cifras que
se repiten no empieza inmediatamente después de la coma. Por ejemplo:
0.12535353… En la
parte decimal se repite infinitas veces el 53. Este número decimal periódico se
escribe también así 
.
Volvamos a los irracionales. Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo, es decir no son decimales periódicos. Por ejemplo, al resolver una raíz cuadrada inexacta, como por ejemplo √2, encontraremos una respuesta decimal 1,4142135623730950488016...... que como vemos será infinita y en la cual no encontramos ninguna relación ni periodo definido. Este tipo de números son conocidos como Números Irracionales.
Es mucho mas sencillo decir simplemente √2, que decir todo el número decimal, es más, es más exacto y preciso decir √2 que decir todo el número decimal (finalmente este decimal no será más que una aproximación).
Debido a ello, los más célebres números irracionales son identificados mediante símbolos. Algunos de éstos son:
1. π (pi): relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro.
2. 
3. Φ (número áureo):
El conjunto de los Números Irracionales se
representa por la letra I o también como el complemento de 
, es decir 
. Que significa lo que
no esta es irracional.
Números
Reales
La unión del conjunto de los números
racionales con el conjunto de los números irracionales, recibe el nombre de
conjunto de los Números Reales y se
denota con el símbolo 
, simbólicamente escribimos: 