Límites Laterales

Imagínate que sufres una pesadilla (por tanto estudiar matemática) en la que te encuentras cerca de una puerta. Decides abrirla, así que te acercas. Te das cuenta que estas cada vez más cerca, pero no alcanzas a tocar el picaporte. Corres tratando de llegar, mas, siempre hay espacio entre tu mano y ese picaporte, no importa cuanto lo intentes. Esa "pesadilla" tiene nombre matemático "límite".

Desde el punto de vista del conjunto de los números reales, que es denso (infinito e infinitésimo), podemos encontrar entre dos números consecutivos infinitos números: tomemos dos números, por ejemplo, 4 y 5, busquemos un número real entre ellos, podemos tomar 4,5 que está entre 4 y 5 ® 4 .... 4,5 ..... 5

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,5 (podemos tomar 4,3 que está entre 4 y 4,5) ® 4 ...... 4,3 ..... 4,5

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,3 (podemos tomar 4,1 que está entre 4 y 4,3) ® 4 ....... 4,1 ...... 4,3

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,1 (podemos tomar 4,08 que está entre 4 y 4,1) ® 4 ...... 4,08 .... 4,1

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,08 (podemos tomar 4,001 que está entre 4 y 4,08) ® 4 ..... 4,001 .... 4,08

Podemos seguir así eternamente. Siempre nos podremos acercar al número "4" todo lo que queramos sin llegar a él. Justamente "4" es el límite que no podemos tocar. Como nos acercamos desde valores mayores a 4, se dice que nos "acercamos por la derecha".

Si nos acercáramos con valores más pequeños, nos "acercaríamos por la izquierda".

El concepto de límite está íntimamente ligado al concepto de función. Cada uno de los números que se acerca a 4 pueden obtenerse de una ecuación (lineal por ejemplo) como y = 4 + x. Donde al darle valores a x obtenemos "esos" números que se acercan a 4 por derecha e izquierda. Evidentemente, de acuerdo al tipo de ecuación que tengamos, serán los valores de x a tomar en cuenta.

En este caso no nos interesa cuando x = 0, ya que no queremos que "la cuenta" de 4 (que es nuestro límite).

x	y = 4 + x
– 0,1	3,9
– 0,01	3,99
– 0,001	3,999
– 0,0001	3,9999

¬ Por izquierda

Por derecha ®

x	y = 4 + x
0,1	4,1
0,01	4,01
0,001	4,001
0,0001	4,0001

El valor de x se acerca a "cero" y el valor de "y" (la imagen de la función) se acerca a 4. Para hablar con propiedad, en matemática no se dice "se acerca a" sino "tiende a"; x tiende a cero cuando y tiende a cuatro. Es real, a los que hacemos matemática no nos gusta escribir mucho. Se reemplaza las palabras con símbolos para ahorrar tiempo (el esfuerzo mental se reserva para el problema matemático). Así que en vez de escribir "tiende a" se pone una flecha. De manera que "x tiende a cero" se indica "x ® 0" e "y tiende a cuatro" se escribe como "y ® 4".

Ya estamos un poco más cerca de poder leer "matemáticamente". El límite (lím) suele escribirse indicando debajo de él el valor a que tiende x, seguido de la ecuación que se analiza y (después del igual) se indica el valor del límite.

No siempre los límites laterales (izquierda y derecha) son iguales. Analicemos la siguiente función.

Para hallar el límite de esta función (paramétrica) debemos separar la parte de la ecuación que se utiliza para valores menores o iguales que "1", (x + 3), de la parte que se utiliza con los valores mayores a "1", (x – 1).

Nuevamente (para escribir menos) indicamos con el signo "+" (colocado como super índice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la derecha. Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos "x" por el número a que tiende:

Indicamos con el signo"–" (colocado como super índice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la izquierda. Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos "x" por el número a que tiende:

Los límites laterales (izquierda y derecha) no son iguales, entonces, la función no tiene límite en x = 1.

Probemos con otra función y analicemos los límites laterales; si ellos dan lo mismo, el límite de la función es ese valor.

De las que tenemos que tenemos la definición de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) cuya explicación se encuentra en dichas funciones.

Cuando el límite (de x tendiendo a un valor que depende de la función, por eso la llamamos "a") por izquierda y por derecha tiende a infinito; característica que define a la asíntota vertical.

Cuando el límite (de x tendiendo a infinito por izquierda "– ¥" y por derecha "+ ¥") tiende a un valor que depende de la función, por eso la llamamos "b"; característica que define a la asíntota horizontal.

Otra aplicación de límites podemos hallarlas en las ecuaciones

exponenciales de tipo

Es de destacar que el intervalo [–1, 0] no pertenece al dominio de la función (queda en ustedes averiguar por qué).

A medida que x se hace más grande, tiende a infinito positivo (x ® + ¥) la imagen "se acerca a un valor" 2,718281828 ... (número irracional) que se lo denomina e. De igual manera, si tomamos valores de x cada vez más chiquitos, tiende a infinito negativo (x ® - ¥) la imagen también "se acerca al mismo valor" e.

Otra aplicación similar podemos hallarla en las funciones cuya ecuación exponencial es del tipo f_(x) = (1 + x)^1/x.

Nuevamente el dominio está restringido, en este caso, a valores mayores a – 1. Si hacemos que x tienda a cero, por izquierda y por derecha, el valor del límite (las imágenes que obtenemos al resolver la ecuación con cada valor de x elegido) también dará como resultado e.