Transformando una imagen

Toy Story es una película de animación generada por computadora, de Pixar y Walt Disney Pictures. Se estrenó en los Estados Unidos el 22 de noviembre de 1995.
Fue el primer largometraje totalmente animado por computadora y el primer proyecto importante de Pixar en el cine.
¿Pero, qué tiene que ver esto con matemáticas, y en particular con álgebra?

El concepto de imagen vectorial o gráfico vectorial es usado comúnmente en el contexto de gráficos de dos dimensiones producidos por computadora. Un gráfico vectorial es una imagen digital formada por objetos geométricos independientes (segmentos, polígonos, arcos, etc.), cada uno de ellos definido por distintos atributos matemáticos de forma, de posición, de color, etc. El interés principal de los gráficos vectoriales es poder ampliar o reducir el tamaño de una imagen a voluntad, así como rotar, mover, reflejar, estirar, inclinar, retorcer y realizar finas transformaciones de los objetos de manera relativamente sencilla. Su uso también está muy extendido en la generación de imágenes en tres dimensiones tanto dinámicas como estáticas.

Actividad 1. Exploraremos un tipo especial de transformaciones de gráficos vectoriales mediante el siguiente applet de Geogebra, considerando el siguiente tipo de transformaciones:

 

a) Desliza suavemente los puntos sobre los segmentos para cambiar los valores de los parámetros αi   y  βi con i = 1,2,3,4,5 y observa los efectos sobre el gráfico. Selecciona alguno que te parezca interesante e identifica la transformación asociada sustituyendo los valores de los parámetros en la expresión que aparece en la esquina superior izquierda de la pantalla.

¿Cómo interpretas esta expresión?



b) Desliza nuevamente los puntos sobre los segmentos, de modo que los parámetros α1 , α2 , α3 , β1,  β2 , β3 tomen el valor de cero. Busca una transformación interesante cambiando únicamente los valores de α4 ,α5 , β4 , β5. Identifica la expresión de la transformación realizada

 

y describe cómo ha cambiado el gráfico original.







En la siguiente actividad estudiaremos, desde una perspectiva gráfica, algunas transformaciones lineales del plano en el plano, entendiendo éstas como funciones que a cada vector   del plano

 asocian un vector    de la forma  , donde a,b,c,d son números reales. Es decir, .






Actividad 2. Exploraremos el efecto de algunas transformaciones lineales sobre una imagen, mediante el siguiente applet de Geogebra.

 

 

a) Marca el casillero Puntos Esquinas. Arrastra libremente cada uno de los puntos que aparecieron en las esquinas de la imagen y observa el efecto que tienen sobre la misma.


b) Nuestro propósito será describir y analizar este tipo de transformaciones, desde una perspectiva geométrica y algebraica, por lo que será necesario activar los ejes cartesianos y la cuadrícula asociada a ellos. Para tal efecto, utiliza las herramientas Ejes, y Cuadrícula del menú Vista. Asimismo, marca el casillero Vectores.


c) Arrastra de nuevo los puntos, de modo que los vectores y se encuentren anclados en el origen (esto debe preservarse a lo largo de toda la actividad), y sus coordenadas sean


d) Analizaremos cómo se transforma la imagen al manipular los vectores 
u  y v. Para tener una mejor visión de lo que sucede en el plano, cambiaremos la imagen que utilizaremos, desmarcando el casillero Imagen en esquina, y marcando el casillero Imagen al centro. Nos referiremos a esta imagen como la imagen original.


e) Arrastra el extremo de los vectores
u  y v de modo que obtengas una imagen el doble de ancho que la original, pero del mismo alto. Escribe cuáles son las coordenadas de los vectores u  y v .


f) Regresa a la imagen original, y ahora trata de transformar la imagen de modo que se invierta, reflejándose con respecto al eje Y, y conservando las dimensiones originales. Escribe cuáles son las coordenadas de los vectores
u  y v .


g) Regresa a la imagen original, y ahora trata de transformar la imagen de modo que se invierta, reflejándose con respecto al eje X, y conservando las dimensiones originales. Escribe cuáles son las coordenadas de los vectores
u  y v .


h) Regresa a la imagen original. ¿Cómo logras que se incline hacia la derecha? Escribe cuáles son las coordenadas de los vectores
u  y v que utilizaste.


i) Regresa a la imagen original. ¿Cómo logras que gire 180°? Escribe cuáles son las coordenadas de los vectores
u  y v que utilizaste.

 


j) Explica cómo se transforma la imagen cuando
         






k) Explica cómo se transforma la imagen cuando         







l) Explica cómo se transforma la imagen cuando          






m) Explica cómo se transforma la imagen cuando      







Actividad 3. Las transformaciones observadas en la imagen, son sólo una muestra de la manera cómo se transforma el plano cuando consideramos una transformación lineal que asocia al vector canónico

  el vector u y al vector canónico   el vector v. Analizaremos el efecto de este tipo de transformaciones en ciertos vectores, para tratar de caracterizarlas de manera puntual. De este modo, trataremos de obtener una expresión algebraica que represente una transformación dada.

a) Regresa a la figura original y marca el casillero Vectores canónicos. Éstos deben coincidir con los vectores u  y v .
b) Arrastra los vectores
u  y v de modo que   y   . Observa que los vectores canónicos, los ejes y la cuadrícula visibles, corresponden al plano original, mientras que la imagen y los vectores u  y v nos muestran el plano transformado, como superpuesto al plano original. ¿Cómo se verán los ejes y la cuadrícula en este nuevo plano? Marca los casilleros Nuevos ejes y Segunda cuadrícula para visualizarlos.

c) Regresa a la figura original. Analizaremos ahora cómo se transforma un vector cualquiera bajo una determinada transformación. Para ello, marca la casilla Vectores de Referencia. Aparecerán dos vectores, uno llamado X1 y otro llamado TX1. ¿Cómo están posicionados estos vectores, uno con respecto al otro?

Escribe sus coordenadas:    X1 =         y      TX1 =         .


En este caso, el plano original y el plano transformado coinciden. ¿Sabes cuál es el nombre con el que se conoce la transformación asociada?

 

d) Arrastra el extremo del vector X1 hasta que sus coordenadas sean  . Después, arrastra los vectores u  y v . ¿Cuáles son las coordenadas del vector TX1 con respecto a la nueva cuadrícula? . Contesta esta pregunta para varias elecciones de los vectores u  y v .

 

 

 

e) Ahora arrastra los extremos de los vectores u  y v de modo que    y   .

        ¿Cuáles son las coordenadas del vector X1 ?

        ¿Cuáles son las coordenadas del vector TX1  con respecto a la nueva cuadrícula?

        ¿Cuáles son las coordenadas del vector TX1 con respecto a la cuadrícula original? .

 

 

f) Repite el ejercicio anterior para varias elecciones de X1, sin cambiar los vectores u  y v . ¿Cómo podrías obtener las coordenadas de TX1, conociendo las de X1 ,u  y v sin leerlas directamente del plano cartesiano?



g) Encuentra las coordenadas de TX1, para un vector X1arbitrario, considerando los vectores u  y v  del inciso anterior. (Considera  ).